微积分学示例

$y = {(1 + \frac{5}{x})}^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 1 + \frac{5}{x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + \frac{5}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

解题步骤 1.1.3

使用 $1 + \frac{5}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{5}{x}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $1 + \frac{5}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ 。

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

解题步骤 1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}])$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ 相加。

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

解题步骤 1.2.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$3 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 1.2.5

化简表达式。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.2.5.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

解题步骤 1.2.7

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} x^{- 2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

合并项。

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解题步骤 1.3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $- 15$ 。

$\frac{- 15}{x^{2}} {(1 + \frac{5}{x})}^{2}$

解题步骤 1.3.2.2

组合 $\frac{- 15}{x^{2}}$ 和 ${(1 + \frac{5}{x})}^{2}$ 。

$\frac{- 15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{15 {(1 + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{15 {(\frac{x}{x} + \frac{5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{15 {(\frac{x + 5}{x})}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3.3

对 $\frac{x + 5}{x}$ 运用乘积法则。

$- \frac{15 \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.4

组合 $15$ 和 $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2}}$ 。

$- \frac{\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 1.3.6

合并。

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

解题步骤 1.3.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

解题步骤 1.3.7.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{15 {(x + 5)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

解题步骤 1.3.8

将 $15 {(x + 5)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{15 {(x + 5)}^{2}}{x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$ 。

$- 15 \frac{d}{d x} [\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{4}}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(x + 5)}^{2}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${(x^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$- 15 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}] - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 5$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 5$ 。

$- 15 \frac{x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 15 \frac{x^{4} (2 u \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 2.4.3

使用 $x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 2.5.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) (1 + 0)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 2.5.4

化简表达式。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5) \cdot 1) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 2.5.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 2.5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - {(x + 5)}^{2} (4 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.5.6

合并分数。

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解题步骤 2.5.6.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 15 \frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 2.5.6.2

组合 $- 15$ 和 $\frac{x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$ 。

$\frac{- 15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.5.6.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{15 (x^{4} (2 (x + 5)) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$- \frac{15 (x^{4} (2 x + 2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$- \frac{15 (x^{4} (2 x) + x^{4} (2 \cdot 5) - 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.3

运用分配律。

$- \frac{15 (x^{4} (2 x)) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4

化简分子。

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解题步骤 2.6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.4.1.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$- \frac{15 (x \cdot x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.6.4.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{15 (x^{1} x^{4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{15 (x^{1 + 4} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{15 (x^{5} \cdot 2) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.2

将 $2$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$- \frac{15 (2 \cdot x^{5}) + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.3

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} (2 \cdot 5)) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{30 x^{5} + 15 (x^{4} \cdot 10) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.5

将 $10$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$- \frac{30 x^{5} + 15 (10 \cdot x^{4}) + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.6

将 $10$ 乘以 $15$ 。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 {(x + 5)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.7

将 ${(x + 5)}^{2}$ 重写为 $(x + 5) (x + 5)$ 。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 ((x + 5) (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(x + 5) (x + 5)$ 。

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解题步骤 2.6.4.1.8.1

运用分配律。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x (x + 5) + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.8.2

运用分配律。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.8.3

运用分配律。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.6.4.1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.4.1.9.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.9.1.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.9.1.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.9.2

将 $5 x$ 和 $5 x$ 相加。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{2} + 10 x + 25) x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.10

运用分配律。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 4 (10 x) - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.11

化简。

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解题步骤 2.6.4.1.11.1

将 $10$ 乘以 $- 4$ 。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 4 \cdot 25) x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.11.2

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 ((- 4 x^{2} - 40 x - 100) x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.12

运用分配律。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{2} x^{3} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.13

化简。

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解题步骤 2.6.4.1.13.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.6.4.1.13.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.13.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{3 + 2} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.13.1.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x \cdot x^{3} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.13.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.6.4.1.13.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.13.2.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.4.1.13.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 (x^{3} x^{1}) - 100 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.13.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{3 + 1} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.13.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5} - 40 x^{4} - 100 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.14

运用分配律。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} + 15 (- 4 x^{5}) + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.15

化简。

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解题步骤 2.6.4.1.15.1

将 $- 4$ 乘以 $15$ 。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} + 15 (- 40 x^{4}) + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.15.2

将 $- 40$ 乘以 $15$ 。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} + 15 (- 100 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.1.15.3

将 $- 100$ 乘以 $15$ 。

$- \frac{30 x^{5} + 150 x^{4} - 60 x^{5} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.2

从 $30 x^{5}$ 中减去 $60 x^{5}$ 。

$- \frac{- 30 x^{5} + 150 x^{4} - 600 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.4.3

从 $150 x^{4}$ 中减去 $600 x^{4}$ 。

$- \frac{- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.5

化简分子。

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解题步骤 2.6.5.1

从 $- 30 x^{5} - 450 x^{4} - 1500 x^{3}$ 中分解出因数 $30 x^{3}$ 。

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解题步骤 2.6.5.1.1

从 $- 30 x^{5}$ 中分解出因数 $30 x^{3}$ 。

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) - 450 x^{4} - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.5.1.2

从 $- 450 x^{4}$ 中分解出因数 $30 x^{3}$ 。

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) - 1500 x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.5.1.3

从 $- 1500 x^{3}$ 中分解出因数 $30 x^{3}$ 。

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.5.1.4

从 $30 x^{3} (- x^{2}) + 30 x^{3} (- 15 x)$ 中分解出因数 $30 x^{3}$ 。

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.5.1.5

从 $30 x^{3} (- x^{2} - 15 x) + 30 x^{3} (- 50)$ 中分解出因数 $30 x^{3}$ 。

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 x - 50)}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.5.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.6.5.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 50 = 50$ 并且它们的和为 $b = - 15$ 。

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解题步骤 2.6.5.2.1.1

从 $- 15 x$ 中分解出因数 $- 15$ 。

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 15 (x) - 50)}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.5.2.1.2

把 $- 15$ 重写为 $- 5$ 加 $- 10$

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} + (- 5 - 10) x - 50)}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.5.2.1.3

运用分配律。

$- \frac{30 x^{3} (- x^{2} - 5 x - 10 x - 50)}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.6.5.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- \frac{30 x^{3} ((- x^{2} - 5 x) - 10 x - 50)}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.5.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- \frac{30 x^{3} (x (- x - 5) + 10 (- x - 5))}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.5.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 5$ 来因式分解多项式。

$- \frac{30 x^{3} ((- x - 5) (x + 10))}{x^{8}}$

$- \frac{30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.6

约去 $x^{3}$ 和 $x^{8}$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.6.1

从 $30 x^{3} (- x - 5) (x + 10)$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{8}}$

解题步骤 2.6.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.6.2.1

从 $x^{8}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

解题步骤 2.6.6.2.2

约去公因数。

$- \frac{x^{3} ((30 (- x - 5)) (x + 10))}{x^{3} x^{5}}$

解题步骤 2.6.6.2.3

重写表达式。

$- \frac{(30 (- x - 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

解题步骤 2.6.7

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{30 (- (x) - 5) (x + 10)}{x^{5}}$

解题步骤 2.6.8

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$- \frac{30 (- (x) - 1 (5)) (x + 10)}{x^{5}}$

解题步骤 2.6.9

从 $- (x) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{30 (- (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

解题步骤 2.6.10

将 $- (x + 5)$ 重写为 $- 1 (x + 5)$ 。

$- \frac{30 (- 1 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

解题步骤 2.6.11

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

解题步骤 2.6.12

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

解题步骤 2.6.13

将 $\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$

解题步骤 2.6.14

将 $\frac{(30 (x + 5)) (x + 10)}{x^{5}}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = \frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{30 (x + 5) (x + 10)}{x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$ 。

$30 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 5) (x + 10)}{x^{5}}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (x + 5) (x + 10)$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 ${(x^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$30 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 10)] - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 5$ 且 $g (x) = x + 10$ 。

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 10] + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

根据加法法则， $x + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.3

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) (1 + 0) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.4

化简表达式。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$30 \frac{x^{5} ((x + 5) \cdot 1 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.4.2

将 $x + 5$ 乘以 $1$ 。

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.5

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) (1 + 0)) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.5.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + (x + 10) \cdot 1) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.8.2

将 $x + 10$ 乘以 $1$ 。

$30 \frac{x^{5} (x + 5 + x + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$30 \frac{x^{5} (2 x + 5 + 10) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.8.4

将 $5$ 和 $10$ 相加。

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - (x + 5) (x + 10) (5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.10

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.5.10.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$30 \frac{x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.10.2

从 $x^{5} (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.5.10.2.1

从 $x^{5} (2 x + 15)$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) - 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.10.2.2

从 $- 5 (x + 5) (x + 10) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

解题步骤 3.5.10.2.3

从 $x^{4} (x (2 x + 15)) + x^{4} (- 5 (x + 5) (x + 10))$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{10}}$

解题步骤 3.6

约去公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $x^{10}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

$30 \frac{x^{4} (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{4} x^{6}}$

解题步骤 3.6.3

重写表达式。

$30 \frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$

解题步骤 3.7

组合 $30$ 和 $\frac{x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10)}{x^{6}}$ 。

$\frac{30 (x (2 x + 15) - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

运用分配律。

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 - 5 (x + 5) (x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.2

运用分配律。

$\frac{30 (x (2 x) + x \cdot 15 + (- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.3

运用分配律。

$\frac{30 (x (2 x)) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4

化简分子。

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解题步骤 3.8.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.8.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.8.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{30 (x \cdot x \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{30 (x^{2} \cdot 2) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{30 (2 \cdot x^{2}) + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.3

将 $2$ 乘以 $30$ 。

$\frac{60 x^{2} + 30 (x \cdot 15) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.4

将 $15$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{60 x^{2} + 30 (15 \cdot x) + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.5

将 $15$ 乘以 $30$ 。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 5 \cdot 5) (x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.6

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 ((- 5 x - 25) (x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.7

使用 FOIL 方法展开 $(- 5 x - 25) (x + 10)$ 。

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解题步骤 3.8.4.1.7.1

运用分配律。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x (x + 10) - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.7.2

运用分配律。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 (x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.7.3

运用分配律。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.8.4.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.8.4.1.8.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.8.4.1.8.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.8.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 5 x \cdot 10 - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.8.1.2

将 $10$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 25 \cdot 10)}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.8.1.3

将 $- 25$ 乘以 $10$ 。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 50 x - 25 x - 250)}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.8.2

从 $- 50 x$ 中减去 $25 x$ 。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2} - 75 x - 250)}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.9

运用分配律。

$\frac{60 x^{2} + 450 x + 30 (- 5 x^{2}) + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.10

化简。

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解题步骤 3.8.4.1.10.1

将 $- 5$ 乘以 $30$ 。

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} + 30 (- 75 x) + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.10.2

将 $- 75$ 乘以 $30$ 。

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x + 30 \cdot - 250}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.1.10.3

将 $30$ 乘以 $- 250$ 。

$\frac{60 x^{2} + 450 x - 150 x^{2} - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.2

从 $60 x^{2}$ 中减去 $150 x^{2}$ 。

$\frac{- 90 x^{2} + 450 x - 2250 x - 7500}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.4.3

从 $450 x$ 中减去 $2250 x$ 。

$\frac{- 90 x^{2} - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.5

从 $- 90 x^{2} - 1800 x - 7500$ 中分解出因数 $30$ 。

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解题步骤 3.8.5.1

从 $- 90 x^{2}$ 中分解出因数 $30$ 。

$\frac{30 (- 3 x^{2}) - 1800 x - 7500}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.5.2

从 $- 1800 x$ 中分解出因数 $30$ 。

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) - 7500}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.5.3

从 $- 7500$ 中分解出因数 $30$ 。

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.5.4

从 $30 (- 3 x^{2}) + 30 (- 60 x)$ 中分解出因数 $30$ 。

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.5.5

从 $30 (- 3 x^{2} - 60 x) + 30 (- 250)$ 中分解出因数 $30$ 。

$\frac{30 (- 3 x^{2} - 60 x - 250)}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.6

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - 60 x - 250)}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.7

从 $- 60 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{30 (- (3 x^{2}) - (60 x) - 250)}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.8

从 $- (3 x^{2}) - (60 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 250)}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.9

将 $- 250$ 重写为 $- 1 (250)$ 。

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.10

从 $- (3 x^{2} + 60 x) - 1 (250)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{30 (- (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.11

将 $- (3 x^{2} + 60 x + 250)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250)$ 。

$\frac{30 (- 1 (3 x^{2} + 60 x + 250))}{x^{6}}$

解题步骤 3.8.12

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{30 (3 x^{2} + 60 x + 250)}{x^{6}}$

微积分学 示例

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