微积分学示例

$s = (t^{4} - 3 t^{3} + 3) (1 - 2 t^{3})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{4} - 3 t^{3} + 3$ 且 $g (t) = 1 - 2 t^{3}$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) \frac{d}{d t} [1 - 2 t^{3}] + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 - 2 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [- 2 t^{3}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 - 2 \frac{d}{d t} [t^{3}]) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 - 2 (3 t^{2})) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 - 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

从 $0$ 中减去 $6 t^{2}$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $t^{4} - 3 t^{3} + 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [3]$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [3])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [3])$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d t} [- 3 t^{3}]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [3])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [3])$

解题步骤 5.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2} + \frac{d}{d t} [3])$

解题步骤 6

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2} + 0)$

解题步骤 6.2

将 $4 t^{3} - 9 t^{2}$ 和 $0$ 相加。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3} - 9 t^{2})$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + (1 - 2 t^{3}) (4 t^{3}) + (1 - 2 t^{3}) (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + (1 - 2 t^{3}) (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$t^{4} (- 6 t^{2}) - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5

合并项。

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解题步骤 7.5.1

通过指数相加将 $t^{4}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 7.5.1.1

移动 $t^{2}$ 。

$t^{2} t^{4} \cdot - 6 - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$t^{2 + 4} \cdot - 6 - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.1.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$t^{6} \cdot - 6 - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.2

将 $- 6$ 移到 $t^{6}$ 的左侧。

$- 6 \cdot t^{6} - 3 t^{3} (- 6 t^{2}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.3

将 $- 6$ 乘以 $- 3$ 。

$- 6 t^{6} + 18 t^{3} t^{2} + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.4

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 7.5.4.1

移动 $t^{2}$ 。

$- 6 t^{6} + 18 (t^{2} t^{3}) + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 t^{6} + 18 t^{2 + 3} + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.4.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} + 3 (- 6 t^{2}) + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.5

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 1 (4 t^{3}) - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 2 t^{3} (4 t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.7

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{3} t^{3} + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.8

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t^{3}$ 。

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解题步骤 7.5.8.1

移动 $t^{3}$ 。

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 (t^{3} t^{3}) + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{3 + 3} + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.8.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} + 1 (- 9 t^{2}) - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.9

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} - 2 t^{3} (- 9 t^{2})$

解题步骤 7.5.10

将 $- 9$ 乘以 $- 2$ 。

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 t^{3} t^{2}$

解题步骤 7.5.11

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 7.5.11.1

移动 $t^{2}$ 。

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 (t^{2} t^{3})$

解题步骤 7.5.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 t^{2 + 3}$

解题步骤 7.5.11.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$- 6 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 8 t^{6} - 9 t^{2} + 18 t^{5}$

解题步骤 7.5.12

从 $- 6 t^{6}$ 中减去 $8 t^{6}$ 。

$- 14 t^{6} + 18 t^{5} - 18 t^{2} + 4 t^{3} - 9 t^{2} + 18 t^{5}$

解题步骤 7.5.13

从 $- 18 t^{2}$ 中减去 $9 t^{2}$ 。

$- 14 t^{6} + 18 t^{5} + 4 t^{3} - 27 t^{2} + 18 t^{5}$

解题步骤 7.5.14

将 $18 t^{5}$ 和 $18 t^{5}$ 相加。

$- 14 t^{6} + 36 t^{5} + 4 t^{3} - 27 t^{2}$

微积分学 示例

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