微积分学示例

$s = (t^{4} - 3 t^{3} + 3) (1 - 2 t^{3})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [f (s) g (s)]$ 等于 $f (s) \frac{d}{d s} [g (s)] + g (s) \frac{d}{d s} [f (s)]$ ，其中 $f (s) = t^{4} - 3 t^{3} + 3$ 且 $g (s) = 1 - 2 t^{3}$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) \frac{d}{d s} [1 - 2 t^{3}] + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d s} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 - 2 t^{3}$ 对 $s$ 的导数是 $\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [- 2 t^{3}]$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [- 2 t^{3}]) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d s} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $s$ 是常数，所以 $1$ 对 $s$ 的导数为 $0$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 + \frac{d}{d s} [- 2 t^{3}]) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d s} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

解题步骤 2.3

因为 $- 2 t^{3}$ 对于 $s$ 是常数，所以 $- 2 t^{3}$ 对 $s$ 的导数为 $0$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) (0 + 0) + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d s} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

解题步骤 2.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) \cdot 0 + (1 - 2 t^{3}) \frac{d}{d s} [t^{4} - 3 t^{3} + 3]$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $t^{4} - 3 t^{3} + 3$ 对 $s$ 的导数是 $\frac{d}{d s} [t^{4}] + \frac{d}{d s} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d s} [3]$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) \cdot 0 + (1 - 2 t^{3}) (\frac{d}{d s} [t^{4}] + \frac{d}{d s} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d s} [3])$

解题步骤 2.6

因为 $t^{4}$ 对于 $s$ 是常数，所以 $t^{4}$ 对 $s$ 的导数为 $0$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) \cdot 0 + (1 - 2 t^{3}) (0 + \frac{d}{d s} [- 3 t^{3}] + \frac{d}{d s} [3])$

解题步骤 2.7

因为 $- 3 t^{3}$ 对于 $s$ 是常数，所以 $- 3 t^{3}$ 对 $s$ 的导数为 $0$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) \cdot 0 + (1 - 2 t^{3}) (0 + 0 + \frac{d}{d s} [3])$

解题步骤 2.8

因为 $3$ 对于 $s$ 是常数，所以 $3$ 对 $s$ 的导数为 $0$ 。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) \cdot 0 + (1 - 2 t^{3}) (0 + 0 + 0)$

解题步骤 3

合并项。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) \cdot 0 + (1 - 2 t^{3}) (0 + 0)$

解题步骤 3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$(t^{4} - 3 t^{3} + 3) \cdot 0 + (1 - 2 t^{3}) \cdot 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$t^{4} \cdot 0 - 3 t^{3} \cdot 0 + 3 \cdot 0 + (1 - 2 t^{3}) \cdot 0$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$t^{4} \cdot 0 - 3 t^{3} \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2 t^{3} \cdot 0$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $t^{4}$ 乘以 $0$ 。

$0 - 3 t^{3} \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2 t^{3} \cdot 0$

解题步骤 4.3.2

将 $0$ 乘以 $- 3$ 。

$0 + 0 t^{3} + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2 t^{3} \cdot 0$

解题步骤 4.3.3

将 $0$ 乘以 $t^{3}$ 。

$0 + 0 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2 t^{3} \cdot 0$

解题步骤 4.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2 t^{3} \cdot 0$

解题步骤 4.3.5

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 1 \cdot 0 - 2 t^{3} \cdot 0$

解题步骤 4.3.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 1 \cdot 0 - 2 t^{3} \cdot 0$

解题步骤 4.3.7

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 - 2 t^{3} \cdot 0$

解题步骤 4.3.8

将 $0$ 乘以 $- 2$ 。

$0 + 0 + 0 t^{3}$

解题步骤 4.3.9

将 $0$ 乘以 $t^{3}$ 。

$0 + 0 + 0$

解题步骤 4.3.10

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0$

解题步骤 4.3.11

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

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