微积分学示例

$\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1 + t^{3}} d t$

解题步骤 1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{1^{3} + t^{3}} d t]$

解题步骤 2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = t$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

解题步骤 3.2

将 $- 1 t$ 重写为 $- t$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

解题步骤 4

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{1}^{x^{2}} \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})}$

解题步骤 5.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{2 \cdot 2})}$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{4})}$

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