微积分学示例

$f (x) = 5 \arctan (x^{2})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \arctan (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.2.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 (\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$5 (\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.2

组合 $\frac{1}{1 + x^{4}}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{5}{1 + x^{4}} (2 x)$

解题步骤 1.3.4

合并分数。

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解题步骤 1.3.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{5}{1 + x^{4}}$ 。

$\frac{2 \cdot 5}{1 + x^{4}} x$

解题步骤 1.3.4.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{10}{1 + x^{4}} x$

解题步骤 1.3.4.3

组合 $\frac{10}{1 + x^{4}}$ 和 $x$ 。

$\frac{10 x}{1 + x^{4}}$

解题步骤 1.3.4.4

重新排序项。

$f' (x) = \frac{10 x}{x^{4} + 1}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{10 x}{x^{4} + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ 。

$10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{4} + 1$ 。

$10 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

将 $x^{4} + 1$ 乘以 $1$ 。

$10 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $x^{4} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

从 $x^{4}$ 中减去 $4 x^{4}$ 。

$10 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6

组合 $10$ 和 $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

运用分配律。

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.1

将 $- 3$ 乘以 $10$ 。

$\frac{- 30 x^{4} + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.2

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 30 x^{4} + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7.3

从 $- 30 x^{4} + 10$ 中分解出因数 $10$ 。

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解题步骤 2.7.3.1

从 $- 30 x^{4}$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7.3.2

从 $10$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7.3.3

从 $10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7.4

从 $- 3 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{10 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7.5

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{10 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7.6

从 $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{10 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7.7

将 $- (3 x^{4} - 1)$ 重写为 $- 1 (3 x^{4} - 1)$ 。

$\frac{10 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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