微积分学示例

$\sin (\frac{x}{2})$

解题步骤 1

将 $\sin (\frac{x}{2})$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 2.1.1.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 2.1.1.1.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 2.1.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.1.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (\frac{x}{2})$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

解题步骤 2.1.1.2.4

将 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

解题步骤 2.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 2.1.2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 2.1.2.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 2.1.2.3

求微分。

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解题步骤 2.1.2.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (\frac{x}{2})$ 。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 2.1.2.3.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.3.3

合并分数。

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解题步骤 2.1.2.3.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ 。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.2.3.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ 。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

解题步骤 2.2.2

将分子设为等于零。

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

解题步骤 2.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.2.3.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

解题步骤 2.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{x}{2} = 0$

解题步骤 2.2.3.3

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 2.2.3.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{x}{2} = π - 0$

解题步骤 2.2.3.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.3.5.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

解题步骤 2.2.3.5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.3.5.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.2.3.5.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.5.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

解题步骤 2.2.3.5.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (π - 0)$

解题步骤 2.2.3.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.5.2.2.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 2.2.3.6

求 $\sin (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 2.2.3.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.2.3.6.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 2.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.2.3.6.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 2.2.3.6.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 2.2.3.7

$\sin (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.2.4

合并答案。

$x = 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{2})}{4}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 (0)}{2})}{4}$

解题步骤 5.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

解题步骤 5.2.1.2.2

约去公因数。

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

解题步骤 5.2.1.2.3

重写表达式。

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{1})}{4}$

解题步骤 5.2.1.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$f'' (0) = - \frac{\sin (0)}{4}$

解题步骤 5.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f'' (0) = - \frac{0}{4}$

解题步骤 5.2.3

用 $0$ 除以 $4$ 。

$f'' (0) = - 0$

解题步骤 5.2.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0$

解题步骤 5.2.5

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 6

微积分学 示例

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