微积分学示例

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{5} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.2.4

组合 $\frac{5}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.2.5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.2.5.2

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $\frac{7}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7}{2} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.3.3

组合 $4$ 和 $\frac{7}{2}$ 。

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.3.4

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.3.5

组合 $\frac{28}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.3.6

约去 $28$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.6.1

从 $28 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.3.6.2.2

约去公因数。

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.3.6.2.3

重写表达式。

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.3.6.2.4

用 $14 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $\frac{71}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{71}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.4.3

组合 $3$ 和 $\frac{71}{3}$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.4.4

将 $3$ 乘以 $71$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.4.5

组合 $\frac{213}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.4.6

约去 $213$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.6.1

从 $213 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.4.6.2.2

约去公因数。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.4.6.2.3

重写表达式。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.4.6.2.4

用 $71 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.5

计算 $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

因为 $77$ 对于 $x$ 是常数，所以 $77 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.5.3

将 $2$ 乘以 $77$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.6

计算 $\frac{d}{d x} [120 x]$ 。

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解题步骤 2.1.6.1

因为 $120$ 对于 $x$ 是常数，所以 $120 x$ 对 $x$ 的导数是 $120 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

解题步骤 2.1.6.3

将 $120$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 = 0$

解题步骤 3.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

解题步骤 3.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

解题步骤 3.2.1.3

代入 $- 2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 2$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.2.1.3.1

将 $- 2$ 代入多项式。

${(- 2)}^{4} + 14 {(- 2)}^{3} + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

解题步骤 3.2.1.3.2

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 + 14 {(- 2)}^{3} + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

解题步骤 3.2.1.3.3

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$16 + 14 \cdot - 8 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

解题步骤 3.2.1.3.4

将 $14$ 乘以 $- 8$ 。

$16 - 112 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

解题步骤 3.2.1.3.5

从 $16$ 中减去 $112$ 。

$- 96 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

解题步骤 3.2.1.3.6

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 96 + 71 \cdot 4 + 154 \cdot - 2 + 120$

解题步骤 3.2.1.3.7

将 $71$ 乘以 $4$ 。

$- 96 + 284 + 154 \cdot - 2 + 120$

解题步骤 3.2.1.3.8

将 $- 96$ 和 $284$ 相加。

$188 + 154 \cdot - 2 + 120$

解题步骤 3.2.1.3.9

将 $154$ 乘以 $- 2$ 。

$188 - 308 + 120$

解题步骤 3.2.1.3.10

从 $188$ 中减去 $308$ 。

$- 120 + 120$

解题步骤 3.2.1.3.11

将 $- 120$ 和 $120$ 相加。

$0$

解题步骤 3.2.1.4

因为 $- 2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120}{x + 2}$

解题步骤 3.2.1.5

用 $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ 除以 $x + 2$ 。

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解题步骤 3.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

解题步骤 3.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

解题步骤 3.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

解题步骤 3.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} + 2 x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

解题步骤 3.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

解题步骤 3.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

解题步骤 3.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $12 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

解题步骤 3.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

解题步骤 3.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $12 x^{3} + 24 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

解题步骤 3.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

解题步骤 3.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

解题步骤 3.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $47 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

解题步骤 3.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

解题步骤 3.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $47 x^{2} + 94 x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

解题步骤 3.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

解题步骤 3.2.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

解题步骤 3.2.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $60 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

解题步骤 3.2.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

解题步骤 3.2.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $60 x + 120$ 中的所有符号

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

解题步骤 3.2.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

$0$

解题步骤 3.2.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$

解题步骤 3.2.1.6

将 $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ 书写为因数的集合。

$(x + 2) (x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60) = 0$

解题步骤 3.2.2

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

解题步骤 3.2.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

解题步骤 3.2.2.3

代入 $- 3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 3$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.2.2.3.1

将 $- 3$ 代入多项式。

${(- 3)}^{3} + 12 {(- 3)}^{2} + 47 \cdot - 3 + 60$

解题步骤 3.2.2.3.2

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 27 + 12 {(- 3)}^{2} + 47 \cdot - 3 + 60$

解题步骤 3.2.2.3.3

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 27 + 12 \cdot 9 + 47 \cdot - 3 + 60$

解题步骤 3.2.2.3.4

将 $12$ 乘以 $9$ 。

$- 27 + 108 + 47 \cdot - 3 + 60$

解题步骤 3.2.2.3.5

将 $- 27$ 和 $108$ 相加。

$81 + 47 \cdot - 3 + 60$

解题步骤 3.2.2.3.6

将 $47$ 乘以 $- 3$ 。

$81 - 141 + 60$

解题步骤 3.2.2.3.7

从 $81$ 中减去 $141$ 。

$- 60 + 60$

解题步骤 3.2.2.3.8

将 $- 60$ 和 $60$ 相加。

$0$

解题步骤 3.2.2.4

因为 $- 3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60}{x + 3}$

解题步骤 3.2.2.5

用 $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ 除以 $x + 3$ 。

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解题步骤 3.2.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$3$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

解题步骤 3.2.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$

解题步骤 3.2.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

解题步骤 3.2.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 3 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

解题步骤 3.2.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

解题步骤 3.2.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$

解题步骤 3.2.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $9 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$

解题步骤 3.2.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$27 x$

解题步骤 3.2.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $9 x^{2} + 27 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$

解题步骤 3.2.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$

解题步骤 3.2.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$

解题步骤 3.2.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $20 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$

解题步骤 3.2.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							+	$20 x$	+	$60$

解题步骤 3.2.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $20 x + 60$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							-	$20 x$	-	$60$

解题步骤 3.2.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							-	$20 x$	-	$60$
										$0$

解题步骤 3.2.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + 9 x + 20$

解题步骤 3.2.2.6

将 $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ 书写为因数的集合。

$(x + 2) ((x + 3) (x^{2} + 9 x + 20)) = 0$

解题步骤 3.2.3

使用 AC 法来对 $x^{2} + 9 x + 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.3.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 9 x + 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.3.1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 9 x + 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $20$ ，和为 $9$ 。

$4, 5$

解题步骤 3.2.3.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 2) ((x + 3) ((x + 4) (x + 5))) = 0$

解题步骤 3.2.3.1.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) ((x + 3) (x + 4) (x + 5)) = 0$

解题步骤 3.2.3.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 3.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 3.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 3.6

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 3.6.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 3.7

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 3.7.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 3.8

最终解为使 $(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, - 3, - 4, - 5$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $- 2, - 3, - 4, - 5$ 。

$- 2, - 3, - 4, - 5$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - 4) \cup (- 4, - 3) \cup (- 3, - 2) \cup (- 2, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 5)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 6) = {(- 6)}^{4} + 14 {(- 6)}^{3} + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 6$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 6) = 1296 + 14 {(- 6)}^{3} + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 6) = 1296 + 14 \cdot - 216 + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

解题步骤 6.2.1.3

将 $14$ 乘以 $- 216$ 。

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 71 {(- 6)}^{2} + 154 (- 6) + 120$

解题步骤 6.2.1.4

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 71 \cdot 36 + 154 (- 6) + 120$

解题步骤 6.2.1.5

将 $71$ 乘以 $36$ 。

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 2556 + 154 (- 6) + 120$

解题步骤 6.2.1.6

将 $154$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (- 6) = 1296 - 3024 + 2556 - 924 + 120$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $1296$ 中减去 $3024$ 。

$f' (- 6) = - 1728 + 2556 - 924 + 120$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 1728$ 和 $2556$ 相加。

$f' (- 6) = 828 - 924 + 120$

解题步骤 6.2.2.3

从 $828$ 中减去 $924$ 。

$f' (- 6) = - 96 + 120$

解题步骤 6.2.2.4

将 $- 96$ 和 $120$ 相加。

$f' (- 6) = 24$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $24$ 。

$24$

解题步骤 6.3

在 $x = - 6$ 处，导数为 $24$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 5)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 5)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 5, - 4)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- \frac{9}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- \frac{9}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

对 $- \frac{9}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{9}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.1.2

对 $\frac{9}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{9^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- \frac{9}{2}) = 1 (\frac{9^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.3

将 $\frac{9^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{9^{4}}{2^{4}} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.4

对 $9$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{2^{4}} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 {(- \frac{9}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.2.1.6.1

对 $- \frac{9}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} {(\frac{9}{2})}^{3}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.6.2

对 $\frac{9}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} (\frac{9^{3}}{2^{3}})) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.7

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (- \frac{9^{3}}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.8

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (- \frac{729}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.9

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (- \frac{729}{8}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.10.1

将 $- \frac{729}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 14 (\frac{- 729}{8}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.10.2

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 2 (7) (\frac{- 729}{8}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.10.3

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 729}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.10.4

约去公因数。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 729}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.10.5

重写表达式。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + 7 (\frac{- 729}{4}) + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.11

组合 $7$ 和 $\frac{- 729}{4}$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + \frac{7 \cdot - 729}{4} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.12

将 $7$ 乘以 $- 729$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} + \frac{- 5103}{4} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.13

将负号移到分数的前面。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 {(- \frac{9}{2})}^{2} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.14

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.2.1.14.1

对 $- \frac{9}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.14.2

对 $\frac{9}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.15

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (1 (\frac{9^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.16

将 $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.17

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (\frac{81}{2^{2}}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.18

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + 71 (\frac{81}{4}) + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.19

乘以 $71 (\frac{81}{4})$ 。

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解题步骤 7.2.1.19.1

组合 $71$ 和 $\frac{81}{4}$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{71 \cdot 81}{4} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.19.2

将 $71$ 乘以 $81$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 154 (- \frac{9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.20

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.20.1

将 $- \frac{9}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 154 (\frac{- 9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.20.2

从 $154$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 2 (77) (\frac{- 9}{2}) + 120$

解题步骤 7.2.1.20.3

约去公因数。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 2 \cdot (77 (\frac{- 9}{2})) + 120$

解题步骤 7.2.1.20.4

重写表达式。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} + 77 \cdot - 9 + 120$

解题步骤 7.2.1.21

将 $77$ 乘以 $- 9$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{6561}{16} - \frac{5103}{4} + \frac{5751}{4} - 693 + 120$

解题步骤 7.2.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{9}{2}) = - 693 + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{- 5103 + 5751}{4}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 5103$ 和 $5751$ 相加。

$f' (- \frac{9}{2}) = - 693 + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

解题步骤 7.2.3

求公分母。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $- 693$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693}{1} + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $\frac{- 693}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693}{1} \cdot \frac{16}{16} + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

解题步骤 7.2.3.3

将 $\frac{- 693}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + 120 + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

解题步骤 7.2.3.4

将 $120$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

解题步骤 7.2.3.5

将 $\frac{120}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

解题步骤 7.2.3.6

将 $\frac{120}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4}$

解题步骤 7.2.3.7

将 $\frac{648}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648}{4} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 7.2.3.8

将 $\frac{648}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3.9

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{6561}{16} + \frac{648 \cdot 4}{16}$

解题步骤 7.2.4

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 693 \cdot 16 + 120 \cdot 16 + 6561 + 648 \cdot 4}{16}$

解题步骤 7.2.5

化简每一项。

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解题步骤 7.2.5.1

将 $- 693$ 乘以 $16$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 11088 + 120 \cdot 16 + 6561 + 648 \cdot 4}{16}$

解题步骤 7.2.5.2

将 $120$ 乘以 $16$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 11088 + 1920 + 6561 + 648 \cdot 4}{16}$

解题步骤 7.2.5.3

将 $648$ 乘以 $4$ 。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 11088 + 1920 + 6561 + 2592}{16}$

解题步骤 7.2.6

化简表达式。

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解题步骤 7.2.6.1

将 $- 11088$ 和 $1920$ 相加。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 9168 + 6561 + 2592}{16}$

解题步骤 7.2.6.2

将 $- 9168$ 和 $6561$ 相加。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 2607 + 2592}{16}$

解题步骤 7.2.6.3

将 $- 2607$ 和 $2592$ 相加。

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{- 15}{16}$

解题步骤 7.2.6.4

将负号移到分数的前面。

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{15}{16}$

解题步骤 7.2.7

最终答案为 $- \frac{15}{16}$ 。

$- \frac{15}{16}$

解题步骤 7.3

在 $x = - \frac{9}{2}$ 处，导数为 $- \frac{15}{16}$ 。由于其值为负，函数在 $(- 5, - 4)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 5, - 4)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(- 4, - 3)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $- \frac{7}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = {(- \frac{7}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

对 $- \frac{7}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{7}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{7}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.1.2

对 $\frac{7}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{7}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{7^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- \frac{7}{2}) = 1 (\frac{7^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.3

将 $\frac{7^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{7^{4}}{2^{4}} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.4

对 $7$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{2^{4}} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 8.2.1.6.1

对 $- \frac{7}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.6.2

对 $\frac{7}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} (\frac{7^{3}}{2^{3}})) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.7

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.8

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (- \frac{343}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.9

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (- \frac{343}{8}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.10.1

将 $- \frac{343}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 14 (\frac{- 343}{8}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.10.2

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 2 (7) (\frac{- 343}{8}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.10.3

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 343}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.10.4

约去公因数。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 343}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.10.5

重写表达式。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + 7 (\frac{- 343}{4}) + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.11

组合 $7$ 和 $\frac{- 343}{4}$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + \frac{7 \cdot - 343}{4} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.12

将 $7$ 乘以 $- 343$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} + \frac{- 2401}{4} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.13

将负号移到分数的前面。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.14

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 8.2.1.14.1

对 $- \frac{7}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.14.2

对 $\frac{7}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.15

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.16

将 $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.17

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (\frac{49}{2^{2}}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.18

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + 71 (\frac{49}{4}) + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.19

乘以 $71 (\frac{49}{4})$ 。

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解题步骤 8.2.1.19.1

组合 $71$ 和 $\frac{49}{4}$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{71 \cdot 49}{4} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.19.2

将 $71$ 乘以 $49$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 154 (- \frac{7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.20

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.20.1

将 $- \frac{7}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 154 (\frac{- 7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.20.2

从 $154$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 2 (77) (\frac{- 7}{2}) + 120$

解题步骤 8.2.1.20.3

约去公因数。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 2 \cdot (77 (\frac{- 7}{2})) + 120$

解题步骤 8.2.1.20.4

重写表达式。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} + 77 \cdot - 7 + 120$

解题步骤 8.2.1.21

将 $77$ 乘以 $- 7$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{2401}{16} - \frac{2401}{4} + \frac{3479}{4} - 539 + 120$

解题步骤 8.2.2

合并分数。

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解题步骤 8.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{7}{2}) = - 539 + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{- 2401 + 3479}{4}$

解题步骤 8.2.2.2

将 $- 2401$ 和 $3479$ 相加。

$f' (- \frac{7}{2}) = - 539 + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

解题步骤 8.2.3

求公分母。

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解题步骤 8.2.3.1

将 $- 539$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539}{1} + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

解题步骤 8.2.3.2

将 $\frac{- 539}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539}{1} \cdot \frac{16}{16} + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

解题步骤 8.2.3.3

将 $\frac{- 539}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + 120 + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

解题步骤 8.2.3.4

将 $120$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

解题步骤 8.2.3.5

将 $\frac{120}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

解题步骤 8.2.3.6

将 $\frac{120}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4}$

解题步骤 8.2.3.7

将 $\frac{1078}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078}{4} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 8.2.3.8

将 $\frac{1078}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

解题步骤 8.2.3.9

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{2401}{16} + \frac{1078 \cdot 4}{16}$

解题步骤 8.2.4

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 539 \cdot 16 + 120 \cdot 16 + 2401 + 1078 \cdot 4}{16}$

解题步骤 8.2.5

化简每一项。

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解题步骤 8.2.5.1

将 $- 539$ 乘以 $16$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 8624 + 120 \cdot 16 + 2401 + 1078 \cdot 4}{16}$

解题步骤 8.2.5.2

将 $120$ 乘以 $16$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 8624 + 1920 + 2401 + 1078 \cdot 4}{16}$

解题步骤 8.2.5.3

将 $1078$ 乘以 $4$ 。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 8624 + 1920 + 2401 + 4312}{16}$

解题步骤 8.2.6

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 8.2.6.1

将 $- 8624$ 和 $1920$ 相加。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 6704 + 2401 + 4312}{16}$

解题步骤 8.2.6.2

将 $- 6704$ 和 $2401$ 相加。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{- 4303 + 4312}{16}$

解题步骤 8.2.6.3

将 $- 4303$ 和 $4312$ 相加。

$f' (- \frac{7}{2}) = \frac{9}{16}$

解题步骤 8.2.7

最终答案为 $\frac{9}{16}$ 。

$\frac{9}{16}$

解题步骤 8.3

在 $x = - \frac{7}{2}$ 处，导数为 $\frac{9}{16}$ 。由于其值为正，函数在 $(- 4, - 3)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 4, - 3)$ 上递增

解题步骤 9

将区间 $(- 3, - 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $- \frac{5}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = {(- \frac{5}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 9.2.1.1.1

对 $- \frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{5}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{5}{2})}^{4} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.1.2

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{5}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{5^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = 1 (\frac{5^{4}}{2^{4}}) + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.3

将 $\frac{5^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{5^{4}}{2^{4}} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.4

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{2^{4}} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 {(- \frac{5}{2})}^{3} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 9.2.1.6.1

对 $- \frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{2})}^{3}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.6.2

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{2^{3}})) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.7

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (- \frac{5^{3}}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.8

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (- \frac{125}{2^{3}}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.9

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (- \frac{125}{8}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.10.1

将 $- \frac{125}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 14 (\frac{- 125}{8}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.10.2

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 2 (7) (\frac{- 125}{8}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.10.3

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 125}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.10.4

约去公因数。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 2 \cdot (7 (\frac{- 125}{2 \cdot 4})) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.10.5

重写表达式。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + 7 (\frac{- 125}{4}) + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.11

组合 $7$ 和 $\frac{- 125}{4}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + \frac{7 \cdot - 125}{4} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.12

将 $7$ 乘以 $- 125$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} + \frac{- 875}{4} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.13

将负号移到分数的前面。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.14

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 9.2.1.14.1

对 $- \frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.14.2

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.15

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.16

将 $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.17

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (\frac{25}{2^{2}}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.18

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + 71 (\frac{25}{4}) + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.19

乘以 $71 (\frac{25}{4})$ 。

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解题步骤 9.2.1.19.1

组合 $71$ 和 $\frac{25}{4}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{71 \cdot 25}{4} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.19.2

将 $71$ 乘以 $25$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 154 (- \frac{5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.20

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.20.1

将 $- \frac{5}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 154 (\frac{- 5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.20.2

从 $154$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 2 (77) (\frac{- 5}{2}) + 120$

解题步骤 9.2.1.20.3

约去公因数。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 2 \cdot (77 (\frac{- 5}{2})) + 120$

解题步骤 9.2.1.20.4

重写表达式。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} + 77 \cdot - 5 + 120$

解题步骤 9.2.1.21

将 $77$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{625}{16} - \frac{875}{4} + \frac{1775}{4} - 385 + 120$

解题步骤 9.2.2

合并分数。

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解题步骤 9.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{5}{2}) = - 385 + 120 + \frac{625}{16} + \frac{- 875 + 1775}{4}$

解题步骤 9.2.2.2

将 $- 875$ 和 $1775$ 相加。

$f' (- \frac{5}{2}) = - 385 + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

解题步骤 9.2.3

求公分母。

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解题步骤 9.2.3.1

将 $- 385$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385}{1} + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

解题步骤 9.2.3.2

将 $\frac{- 385}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385}{1} \cdot \frac{16}{16} + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

解题步骤 9.2.3.3

将 $\frac{- 385}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + 120 + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

解题步骤 9.2.3.4

将 $120$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

解题步骤 9.2.3.5

将 $\frac{120}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

解题步骤 9.2.3.6

将 $\frac{120}{1}$ 乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4}$

解题步骤 9.2.3.7

将 $\frac{900}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900}{4} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 9.2.3.8

将 $\frac{900}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

解题步骤 9.2.3.9

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16}{16} + \frac{120 \cdot 16}{16} + \frac{625}{16} + \frac{900 \cdot 4}{16}$

解题步骤 9.2.4

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 385 \cdot 16 + 120 \cdot 16 + 625 + 900 \cdot 4}{16}$

解题步骤 9.2.5

化简每一项。

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解题步骤 9.2.5.1

将 $- 385$ 乘以 $16$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 6160 + 120 \cdot 16 + 625 + 900 \cdot 4}{16}$

解题步骤 9.2.5.2

将 $120$ 乘以 $16$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 6160 + 1920 + 625 + 900 \cdot 4}{16}$

解题步骤 9.2.5.3

将 $900$ 乘以 $4$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 6160 + 1920 + 625 + 3600}{16}$

解题步骤 9.2.6

化简表达式。

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解题步骤 9.2.6.1

将 $- 6160$ 和 $1920$ 相加。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 4240 + 625 + 3600}{16}$

解题步骤 9.2.6.2

将 $- 4240$ 和 $625$ 相加。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 3615 + 3600}{16}$

解题步骤 9.2.6.3

将 $- 3615$ 和 $3600$ 相加。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 15}{16}$

解题步骤 9.2.6.4

将负号移到分数的前面。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{15}{16}$

解题步骤 9.2.7

最终答案为 $- \frac{15}{16}$ 。

$- \frac{15}{16}$

解题步骤 9.3

在 $x = - \frac{5}{2}$ 处，导数为 $- \frac{15}{16}$ 。由于其值为负，函数在 $(- 3, - 2)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 3, - 2)$ 上递减

解题步骤 10

将区间 $(- 2, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = {(- 1)}^{4} + 14 {(- 1)}^{3} + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 1) = 1 + 14 {(- 1)}^{3} + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

解题步骤 10.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 1) = 1 + 14 \cdot - 1 + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

解题步骤 10.2.1.3

将 $14$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 {(- 1)}^{2} + 154 (- 1) + 120$

解题步骤 10.2.1.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 \cdot 1 + 154 (- 1) + 120$

解题步骤 10.2.1.5

将 $71$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 + 154 (- 1) + 120$

解题步骤 10.2.1.6

将 $154$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = 1 - 14 + 71 - 154 + 120$

解题步骤 10.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.2.2.1

从 $1$ 中减去 $14$ 。

$f' (- 1) = - 13 + 71 - 154 + 120$

解题步骤 10.2.2.2

将 $- 13$ 和 $71$ 相加。

$f' (- 1) = 58 - 154 + 120$

解题步骤 10.2.2.3

从 $58$ 中减去 $154$ 。

$f' (- 1) = - 96 + 120$

解题步骤 10.2.2.4

将 $- 96$ 和 $120$ 相加。

$f' (- 1) = 24$

解题步骤 10.2.3

最终答案为 $24$ 。

$24$

解题步骤 10.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $24$ 。由于其值为正，函数在 $(- 2, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 2, \infty)$ 上递增

解题步骤 11

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 5), (- 4, - 3), (- 2, \infty)$

递减于： $(- 5, - 4), (- 3, - 2)$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例