微积分学示例

$y = x^{2} - 2^{x}$ , $(3, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 3$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 2^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ 。

$2 x - \frac{d}{d x} [2^{x}]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$2 x - 2^{x} \ln (2)$

解题步骤 1.3

重新排序项。

$- 2^{x} \ln (2) + 2 x$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 3$ 处的导数。

$- 2^{3} \ln (2) + 2 (3)$

解题步骤 1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 \cdot 8 \ln (2) + 2 (3)$

解题步骤 1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 \ln (2) + 2 (3)$

解题步骤 1.5.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 8 \ln (2)$ 。

$- \ln (2^{8}) + 2 (3)$

解题步骤 1.5.4

对 $2$ 进行 $8$ 次方运算。

$- \ln (256) + 2 (3)$

解题步骤 1.5.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \ln (256) + 6$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- \ln (256) + 6$ 和给定点 $(3, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - (3))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $(- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 + (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(- \ln (256) + 6) (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1

运用分配律。

$y - 1 = - \ln (256) (x - 3) + 6 (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.3.2

运用分配律。

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.3.3

运用分配律。

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.4

化简项。

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解题步骤 2.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.4.1.1

乘以 $- \ln (256) \cdot - 3$ 。

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解题步骤 2.3.1.4.1.1.1

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = - \ln (256) x + 3 \ln (256) + 6 x + 6 \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.4.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (256)$ 。

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (256^{3}) + 6 x + 6 \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.4.1.2

对 $256$ 进行 $3$ 次方运算。

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x + 6 \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.4.1.3

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$

解题步骤 2.3.1.4.2

将 $- \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$ 中的因式重新排序。

$y - 1 = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 18$

解题步骤 2.3.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 1 + 6 x - 18$

解题步骤 2.3.3

从 $1$ 中减去 $18$ 。

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 6 x - 17$

解题步骤 2.3.4

将方程重写为 $- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$ 。

$- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$

解题步骤 2.3.5

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.5.1

从等式两边同时减去 $6 x$ 。

$- y - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x$

解题步骤 2.3.5.2

在等式两边都加上 $17$ 。

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$

解题步骤 2.3.6

将 $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

解题步骤 2.3.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

解题步骤 2.3.6.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

解题步骤 2.3.6.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.6.3.1.1

移动 $\frac{x \ln (256)}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

解题步骤 2.3.6.3.1.2

将 $- 1 \cdot (x \ln (256))$ 重写为 $- (x \ln (256))$ 。

$y = - (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

解题步骤 2.3.6.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$y = - x \ln (256) + \frac{\ln (16777216)}{1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

解题步骤 2.3.6.3.1.4

用 $\ln (16777216)$ 除以 $1$ 。

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

解题步骤 2.3.6.3.1.5

移动 $\frac{- 6 x}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - 1 \cdot (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

解题步骤 2.3.6.3.1.6

将 $- 1 \cdot (- 6 x)$ 重写为 $- (- 6 x)$ 。

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

解题步骤 2.3.6.3.1.7

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x + \frac{17}{- 1}$

解题步骤 2.3.6.3.1.8

用 $17$ 除以 $- 1$ 。

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 17$

解题步骤 2.3.7

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.7.1

移动 $\ln (16777216)$ 。

$y = - x \ln (256) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

解题步骤 2.3.7.2

从 $- x \ln (256)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = x (- 1 \ln (256)) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

解题步骤 2.3.7.3

从 $6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6 + \ln (16777216) - 17$

解题步骤 2.3.7.4

从 $x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = x (- 1 \ln (256) + 6) + \ln (16777216) - 17$

解题步骤 2.3.7.5

将 $x$ 和 $- 1 \ln (256) + 6$ 重新排序。

$y = (- 1 \ln (256) + 6) x + \ln (16777216) - 17$

解题步骤 3

微积分学 示例

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