微积分学示例

${(\sqrt[6]{x})}^{3}$

解题步骤 1

将 ${(\sqrt[6]{x})}^{3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(\sqrt[6]{x})}^{3}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(\sqrt[6]{x})}^{3} d x$

解题步骤 4

通过约去带根式的指数进行化简。

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解题步骤 4.1

将 ${(\sqrt[6]{x})}^{3}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[6]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{6}}$ 。

$\int {(x^{\frac{1}{6}})}^{3} d x$

解题步骤 4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int x^{\frac{1}{6} \cdot 3} d x$

解题步骤 4.1.3

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $3$ 。

$\int x^{\frac{3}{6}} d x$

解题步骤 4.1.4

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int x^{\frac{3 (1)}{6}} d x$

解题步骤 4.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.4.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} d x$

解题步骤 4.1.4.2.2

约去公因数。

$\int x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}} d x$

解题步骤 4.1.4.2.3

重写表达式。

$\int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.1.5

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$\int \sqrt{x} d x$

解题步骤 4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6

答案是函数 $f (x) = {(\sqrt[6]{x})}^{3}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

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