微积分学示例

$\sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 1

将 $\sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sec (x) (\tan (x) - \sec (x)) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec (x)) d x$

解题步骤 4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\int \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec (x) d x$

解题步骤 4.3

乘以 $- \sec (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 4.3.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sec (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 4.3.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sec (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) d x$

解题步骤 4.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{1 + 1} d x$

解题步骤 4.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int - \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 6

因为 $\sec (x)$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ ，所以 $\sec (x) \tan (x)$ 的积分为 $\sec (x)$ 。

$\sec (x) + C + \int - \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\sec (x) + C - \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 8

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$\sec (x) + C - (\tan (x) + C)$

解题步骤 9

化简。

$\sec (x) - \tan (x) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \sec (x) (\tan (x) - \sec (x))$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\sec (x) - \tan (x) + C$

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