微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x + 1)}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

解题步骤 1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

解题步骤 1.3

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

解题步骤 3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

解题步骤 3.2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

解题步骤 3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

解题步骤 3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

解题步骤 3.7

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

解题步骤 3.8

$\log_{2} (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x \ln (2)}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} (x \ln (2))$

解题步骤 5

合并因数。

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解题步骤 5.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x + 1}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1} \ln (2)$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{x}{x + 1}$ 和 $\ln (2)$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (2)}{x + 1}$

解题步骤 6

因为项 $\ln (2)$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}$

解题步骤 7

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1

约去公因数。

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

解题步骤 8.1.2

重写表达式。

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

解题步骤 8.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

约去公因数。

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

解题步骤 8.2.2

重写表达式。

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 8.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\ln (2) \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 8.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 8.5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 8.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\ln (2) \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 9

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\ln (2) \frac{1}{1 + 0}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\ln (2) \frac{1}{1}$

解题步骤 10.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1

约去公因数。

$\ln (2) \frac{1}{1}$

解题步骤 10.2.2

重写表达式。

$\ln (2) \cdot 1$

解题步骤 10.3

将 $\ln (2)$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2)$

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