微积分学示例

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 3.1.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 3.1.1.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 3.1.2

求微分。

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解题步骤 3.1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.1.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (\frac{x}{2})$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

解题步骤 3.1.2.4

将 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

解题步骤 4

判断导数在 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 上可微，因为其导数在 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 上连续，并且在 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 上可微。

$f (x)$ 在 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 上连续，在 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 上可微。

解题步骤 7

在区间 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 内计算 $f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 7.2.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 7.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 7.2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8

求解 $x$ 的 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (\frac{3 π}{2}) + f (\frac{π}{2}))}{- (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})}$ 。

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解题步骤 8.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

解题步骤 8.2

化简方程的两边。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

化简 $2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ 。

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解题步骤 8.2.2.1.1

将分数的分子和分母乘以 $2$ 。

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解题步骤 8.2.2.1.1.1

将 $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 (\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}})$

解题步骤 8.2.2.1.1.2

合并。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})}$

解题步骤 8.2.2.1.2

运用分配律。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

解题步骤 8.2.2.1.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.3.1.1

约去公因数。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

解题步骤 8.2.2.1.3.1.2

重写表达式。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

解题步骤 8.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.3.2.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

解题步骤 8.2.2.1.3.2.2

约去公因数。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

解题步骤 8.2.2.1.3.2.3

重写表达式。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

解题步骤 8.2.2.1.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.3.3.1

约去公因数。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

解题步骤 8.2.2.1.3.3.2

重写表达式。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 (- \frac{π}{2})}$

解题步骤 8.2.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.3.4.1

将 $- \frac{π}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

解题步骤 8.2.2.1.3.4.2

约去公因数。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

解题步骤 8.2.2.1.3.4.3

重写表达式。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π - π}$

解题步骤 8.2.2.1.4

化简项。

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解题步骤 8.2.2.1.4.1

从 $\sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{3 π - π}$

解题步骤 8.2.2.1.4.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

解题步骤 8.2.2.1.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.4.3.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 (π)}$

解题步骤 8.2.2.1.4.3.2

约去公因数。

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

解题步骤 8.2.2.1.4.3.3

重写表达式。

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{π}$

解题步骤 8.2.2.1.4.4

用 $0$ 除以 $π$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

解题步骤 8.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

解题步骤 8.4

化简右边。

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解题步骤 8.4.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

解题步骤 8.5

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$x = π$

解题步骤 8.6

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.7

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.7.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 8.7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 8.7.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.7.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.7.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 8.7.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 8.7.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.7.2.2.1

化简 $2 (2 π - \frac{π}{2})$ 。

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解题步骤 8.7.2.2.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 8.7.2.2.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 8.7.2.2.1.3

在公分母上合并分子。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 8.7.2.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.7.2.2.1.4.1

约去公因数。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 8.7.2.2.1.4.2

重写表达式。

$x = 2 π \cdot 2 - π$

解题步骤 8.7.2.2.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = 4 π - π$

解题步骤 8.7.2.2.1.6

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = 3 π$

解题步骤 8.8

求 $\cos (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 8.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.8.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 8.8.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.8.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 8.8.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 8.9

$\cos (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.10

合并答案。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

点 $x = π + 2 π n$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = \frac{π}{2}$ 和 $b = \frac{3 π}{2}$ 的直线平行。

解题步骤 10

微积分学 示例

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