微积分学示例

$5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \sqrt{x}$

解题步骤 1

将 $5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \sqrt{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \sqrt{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5 \sec^{2} (x) d x + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int \sec^{2} (x) d x + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} d x$

解题步骤 6

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$5 (\tan (x) + C) + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} d x$

解题步骤 7

由于 $- \frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{3}{2}$ 移到积分外。

$5 (\tan (x) + C) - \frac{3}{2} \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 8

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 (\tan (x) + C) - \frac{3}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$5 (\tan (x) + C) - \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$5 \tan (x) - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$5 \tan (x) - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$5 \tan (x) - \frac{6}{3 \cdot 2} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$5 \tan (x) - \frac{6}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.4

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.1

约去公因数。

$5 \tan (x) - \frac{6}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.4.2

重写表达式。

$5 \tan (x) - 1 \cdot 1 x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$5 \tan (x) - x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = 5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $5 \tan (x) - x^{\frac{3}{2}} + C$

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