微积分学示例

$x^{2} \sin (x)$

解题步骤 1

将 $x^{2} \sin (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} \sin (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{2} \sin (x) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

解题步骤 5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

解题步骤 6

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

解题步骤 7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

解题步骤 8

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

解题步骤 9

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

将 $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ 重写为 $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ 。

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

解题步骤 10.2.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = x^{2} \sin (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

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