微积分学示例

$(8 x^{3}) e^{x^{4}}$

解题步骤 1

将 $(8 x^{3}) e^{x^{4}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = (8 x^{3}) e^{x^{4}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int (8 x^{3}) e^{x^{4}} d x$

解题步骤 4

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int (x^{3}) e^{x^{4}} d x$

解题步骤 5

使 $u_{1} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 5.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$8 \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 重写为 ${u_{1}}^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.1.4.2.2

约去公因数。

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.1.4.2.3

重写表达式。

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u_{1}$ 。

$8 \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{u_{1}}{2}$ 和 $e^{{u_{1}}^{2}}$ 。

$8 \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$8 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $8$ 。

$\frac{8}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 8.2

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 8.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 8.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 8.2.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{1} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 8.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 9

使 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 ${u_{1}}^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

解题步骤 9.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1}$

解题步骤 9.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 10

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$4 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 12.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 12.2.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 12.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 12.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 12.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 13

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$2 (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 14

化简。

$2 e^{u_{2}} + C$

解题步骤 15

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 15.1

使用 ${u_{1}}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 e^{{u_{1}}^{2}} + C$

解题步骤 15.2

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = (8 x^{3}) e^{x^{4}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

微积分学 示例

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