微积分学示例

$\sum_{j = 1}^{4} {(2 i j + 8 j)}^{2}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

将 ${(2 i j + 8 j)}^{2}$ 重写为 $(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$ 。

$(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$2 i j (2 i j + 8 j) + 8 j (2 i j + 8 j)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$2 i j (2 i j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j + 8 j)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$2 i j (2 i j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 i \cdot 2 i j \cdot j + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.2

通过指数相加将 $j$ 乘以 $j$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

移动 $j$ 。

$2 i \cdot 2 i (j \cdot j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.2.2

将 $j$ 乘以 $j$ 。

$2 i \cdot 2 i j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 i i j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.4

乘以 $4 i i$ 。

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解题步骤 1.3.1.4.1

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (i^{1} i) j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.4.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (i^{1} i^{1}) j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 i^{1 + 1} j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 i^{2} j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 j \cdot j + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.6

通过指数相加将 $j$ 乘以 $j$ 。

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解题步骤 1.3.1.6.1

移动 $j$ 。

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 (j \cdot j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.6.2

将 $j$ 乘以 $j$ 。

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 j^{2} + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.7

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i j \cdot j + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.9

通过指数相加将 $j$ 乘以 $j$ 。

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解题步骤 1.3.1.9.1

移动 $j$ 。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i (j \cdot j) + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.9.2

将 $j$ 乘以 $j$ 。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i j^{2} + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.10

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 j (8 j)$

解题步骤 1.3.1.11

使用乘法的交换性质重写。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 j \cdot j$

解题步骤 1.3.1.12

通过指数相加将 $j$ 乘以 $j$ 。

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解题步骤 1.3.1.12.1

移动 $j$ 。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 (j \cdot j)$

解题步骤 1.3.1.12.2

将 $j$ 乘以 $j$ 。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 j^{2}$

解题步骤 1.3.1.13

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 64 j^{2}$

解题步骤 1.3.2

将 $16 i j^{2}$ 和 $16 i j^{2}$ 相加。

$4 i^{2} j^{2} + 32 i j^{2} + 64 j^{2}$

解题步骤 1.4

将 $4 i^{2} j^{2} + 32 i j^{2} + 64 j^{2}$ 中的因式重新排序。

$4 j^{2} i^{2} + 32 j^{2} i + 64 j^{2}$

解题步骤 1.5

重写该总和。

$\sum_{j = 1}^{4} 4 j^{2} i^{2} + 32 j^{2} i + 64 j^{2}$

解题步骤 2

展开 $j$ 每个取值的序列。

$4 \cdot 1^{2} i^{2} + 32 \cdot 1^{2} i + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 2^{2} i^{2} + 32 \cdot 2^{2} i + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 3^{2} i^{2} + 32 \cdot 3^{2} i + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 4^{2} i^{2} + 32 \cdot 4^{2} i + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3

将值代回并化简 $4 \cdot (1^{2} i^{2}) + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

一的任意次幂都为一。

$4 \cdot (1 i^{2}) + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.2

将 $i^{2}$ 乘以 $1$ 。

$4 \cdot i^{2} + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.3

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$4 \cdot - 1 + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.5

一的任意次幂都为一。

$- 4 + 32 \cdot (1 i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.6

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$- 4 + 32 \cdot i + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.7

一的任意次幂都为一。

$- 4 + 32 i + 64 \cdot 1 + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.8

将 $64$ 乘以 $1$ 。

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (4 i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.10

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (4 \cdot - 1) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.11

乘以 $4 (4 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 3.1.11.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot - 4 + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.11.2

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.12

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 32 \cdot (4 i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.13

将 $4$ 乘以 $32$ 。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.14

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 64 \cdot 4 + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.15

将 $64$ 乘以 $4$ 。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.16

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (9 i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.17

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (9 \cdot - 1) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.18

乘以 $4 (9 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 3.1.18.1

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot - 9 + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.18.2

将 $4$ 乘以 $- 9$ 。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.19

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 32 \cdot (9 i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.20

将 $9$ 乘以 $32$ 。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.21

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 64 \cdot 9 + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.22

将 $64$ 乘以 $9$ 。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.23

通过指数相加将 $4$ 乘以 $4^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.23.1

移动 $4^{2}$ 。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2} \cdot 4 \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.23.2

将 $4^{2}$ 乘以 $4$ 。

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解题步骤 3.1.23.2.1

对 $4$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2} \cdot 4^{1} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.23.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2 + 1} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.23.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{3} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.24

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 64 \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.25

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 64 \cdot - 1 + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.26

将 $64$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.27

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 32 \cdot (16 i) + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.28

将 $16$ 乘以 $32$ 。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 64 \cdot 4^{2}$

解题步骤 3.1.29

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 64 \cdot 16$

解题步骤 3.1.30

将 $64$ 乘以 $16$ 。

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

解题步骤 3.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 4$ 和 $64$ 相加。

$60 + 32 i - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

解题步骤 3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $60$ 中减去 $16$ 。

$44 + 32 i + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

解题步骤 3.2.2.2

将 $44$ 和 $256$ 相加。

$300 + 32 i + 128 i - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

解题步骤 3.2.2.3

从 $300$ 中减去 $36$ 。

$264 + 32 i + 128 i + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

解题步骤 3.2.2.4

将 $264$ 和 $576$ 相加。

$840 + 32 i + 128 i + 288 i - 64 + 512 i + 1024$

解题步骤 3.2.2.5

从 $840$ 中减去 $64$ 。

$776 + 32 i + 128 i + 288 i + 512 i + 1024$

解题步骤 3.2.2.6

将 $776$ 和 $1024$ 相加。

$1800 + 32 i + 128 i + 288 i + 512 i$

解题步骤 3.2.3

将 $32 i$ 和 $128 i$ 相加。

$1800 + 160 i + 288 i + 512 i$

解题步骤 3.2.4

将 $160 i$ 和 $288 i$ 相加。

$1800 + 448 i + 512 i$

解题步骤 3.2.5

将 $448 i$ 和 $512 i$ 相加。

$1800 + 960 i$

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