微积分学示例

$s = \frac{t^{9} + 2 t + 4}{t^{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t^{9} + 2 t + 4$ 且 $g (t) = t^{2}$ 。

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{9} + 2 t + 4] - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

将 ${(t^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{9} + 2 t + 4] - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{9} + 2 t + 4] - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

解题步骤 1.2.2

根据加法法则， $t^{9} + 2 t + 4$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{9}] + \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [4]$ 。

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{9}] + \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

解题步骤 1.2.4

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

解题步骤 1.2.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2 + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

解题步骤 1.2.7

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2 + 0) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

解题步骤 1.2.8

将 $9 t^{8} + 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

解题步骤 1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2) - (t^{9} + 2 t + 4) (2 t)}{t^{4}}$

解题步骤 1.2.10

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4) t}{t^{4}}$

解题步骤 1.2.10.2

从 $t^{2} (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4) t$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 1.2.10.2.1

从 $t^{2} (9 t^{8} + 2)$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2)) - 2 (t^{9} + 2 t + 4) t}{t^{4}}$

解题步骤 1.2.10.2.2

从 $- 2 (t^{9} + 2 t + 4) t$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2)) + t (- 2 (t^{9} + 2 t + 4))}{t^{4}}$

解题步骤 1.2.10.2.3

从 $t (t (9 t^{8} + 2)) + t (- 2 (t^{9} + 2 t + 4))$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4))}{t^{4}}$

解题步骤 1.3

约去公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $t^{4}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4))}{t \cdot t^{3}}$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4))}{t \cdot t^{3}}$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\frac{t (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4)}{t^{3}}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$\frac{t (9 t^{8}) + t \cdot 2 - 2 (t^{9} + 2 t + 4)}{t^{3}}$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$\frac{t (9 t^{8}) + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

解题步骤 1.4.3

化简分子。

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解题步骤 1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{9 t \cdot t^{8} + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

解题步骤 1.4.3.1.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{8}$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.2.1

移动 $t^{8}$ 。

$\frac{9 (t^{8} t) + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.2

将 $t^{8}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.2.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 (t^{8} t^{1}) + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 t^{8 + 1} + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.3

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{9 t^{9} + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

解题步骤 1.4.3.1.3

将 $2$ 移到 $t$ 的左侧。

$\frac{9 t^{9} + 2 \cdot t - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

解题步骤 1.4.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{9 t^{9} + 2 t - 2 t^{9} - 4 t - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

解题步骤 1.4.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{9 t^{9} + 2 t - 2 t^{9} - 4 t - 8}{t^{3}}$

解题步骤 1.4.3.2

从 $9 t^{9}$ 中减去 $2 t^{9}$ 。

$\frac{7 t^{9} + 2 t - 4 t - 8}{t^{3}}$

解题步骤 1.4.3.3

从 $2 t$ 中减去 $4 t$ 。

$f' (t) = \frac{7 t^{9} - 2 t - 8}{t^{3}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = 7 t^{9} - 2 t - 8$ 且 $g (t) = t^{3}$ 。

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [7 t^{9} - 2 t - 8] - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{{(t^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

将 ${(t^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [7 t^{9} - 2 t - 8] - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [7 t^{9} - 2 t - 8] - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $7 t^{9} - 2 t - 8$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [7 t^{9}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ 。

$\frac{t^{3} (\frac{d}{d t} [7 t^{9}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $7 t^{9}$ 对 $t$ 的导数是 $7 \frac{d}{d t} [t^{9}]$ 。

$\frac{t^{3} (7 \frac{d}{d t} [t^{9}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$\frac{t^{3} (7 (9 t^{8}) + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

解题步骤 2.2.5

将 $9$ 乘以 $7$ 。

$\frac{t^{3} (63 t^{8} + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

解题步骤 2.2.6

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

解题步骤 2.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

解题步骤 2.2.8

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2 + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

解题步骤 2.2.9

因为 $- 8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2 + 0) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

解题步骤 2.2.10

将 $63 t^{8} - 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

解题步骤 2.2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2) - (7 t^{9} - 2 t - 8) (3 t^{2})}{t^{6}}$

解题步骤 2.2.12

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.2.12.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8) t^{2}}{t^{6}}$

解题步骤 2.2.12.2

从 $t^{3} (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8) t^{2}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.12.2.1

从 $t^{3} (63 t^{8} - 2)$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2)) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8) t^{2}}{t^{6}}$

解题步骤 2.2.12.2.2

从 $- 3 (7 t^{9} - 2 t - 8) t^{2}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2)) + t^{2} (- 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))}{t^{6}}$

解题步骤 2.2.12.2.3

从 $t^{2} (t (63 t^{8} - 2)) + t^{2} (- 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))}{t^{6}}$

解题步骤 2.3

约去公因数。

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解题步骤 2.3.1

从 $t^{6}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))}{t^{2} t^{4}}$

解题步骤 2.3.2

约去公因数。

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))}{t^{2} t^{4}}$

解题步骤 2.3.3

重写表达式。

$\frac{t (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8)}{t^{4}}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$\frac{t (63 t^{8}) + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8)}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$\frac{t (63 t^{8}) + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.3

化简分子。

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解题步骤 2.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{63 t \cdot t^{8} + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.3.1.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{8}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1.2.1

移动 $t^{8}$ 。

$\frac{63 (t^{8} t) + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.3.1.2.2

将 $t^{8}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 2.4.3.1.2.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{63 (t^{8} t^{1}) + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{63 t^{8 + 1} + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.3.1.2.3

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{63 t^{9} + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.3.1.3

将 $- 2$ 移到 $t$ 的左侧。

$\frac{63 t^{9} - 2 \cdot t - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.3.1.4

将 $7$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{63 t^{9} - 2 t - 21 t^{9} - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{63 t^{9} - 2 t - 21 t^{9} + 6 t - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.3.1.6

将 $- 3$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{63 t^{9} - 2 t - 21 t^{9} + 6 t + 24}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.3.2

从 $63 t^{9}$ 中减去 $21 t^{9}$ 。

$\frac{42 t^{9} - 2 t + 6 t + 24}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.3.3

将 $- 2 t$ 和 $6 t$ 相加。

$\frac{42 t^{9} + 4 t + 24}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.4

从 $42 t^{9} + 4 t + 24$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.4.4.1

从 $42 t^{9}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (21 t^{9}) + 4 t + 24}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.4.2

从 $4 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (21 t^{9}) + 2 (2 t) + 24}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.4.3

从 $24$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (21 t^{9}) + 2 (2 t) + 2 (12)}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.4.4

从 $2 (21 t^{9}) + 2 (2 t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (21 t^{9} + 2 t) + 2 (12)}{t^{4}}$

解题步骤 2.4.4.5

从 $2 (21 t^{9} + 2 t) + 2 (12)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (t) = \frac{2 (21 t^{9} + 2 t + 12)}{t^{4}}$

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