微积分学示例

$f (x) = 3 e^{- x^{4}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{- x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{4}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{4}$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

解题步骤 1.2.3

使用 $- x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [- x^{4}])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 3 e^{- x^{4}} (4 x^{3})$

解题步骤 1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$- 12 e^{- x^{4}} x^{3}$

解题步骤 1.3.4.2

将 $- 12 e^{- x^{4}} x^{3}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - 12 x^{3} e^{- x^{4}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{3} e^{- x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{4}}]$ 。

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{4}}]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = e^{- x^{4}}$ 。

$- 12 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}] + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{4}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{4}$ 。

$- 12 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{4}]) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 12 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{4}]) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.3.3

使用 $- x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [- x^{4}]) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- (4 x^{3}))) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.4.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.5

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.1

移动 $x^{3}$ 。

$- 12 (x^{3} x^{3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 12 (x^{3 + 3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.5.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$- 12 (x^{6} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.6

将 $- 4$ 移到 $e^{- x^{4}}$ 的左侧。

$- 12 (x^{6} (- 4 \cdot e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.8

化简。

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解题步骤 2.8.1

运用分配律。

$- 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.8.2

合并项。

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解题步骤 2.8.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 12$ 。

$48 (x^{6} (e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

解题步骤 2.8.2.2

将 $3$ 乘以 $- 12$ 。

$48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

解题步骤 2.8.3

重新排序项。

$48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

解题步骤 2.8.4

将 $48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = 48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$ 。

$48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$

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