微积分学示例

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ , $[0, π]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[0, π]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 3.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 3.1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 3.1.3.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 3.1.3.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 3.1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 3.1.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

解题步骤 3.1.3.5

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ 。

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

解题步骤 4

判断导数在 $(0, π)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(0, π)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $(0, π)$ 上可微，因为其导数在 $(0, π)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[0, π]$ 上连续，并且在 $(0, π)$ 上可微。

$f (x)$ 在 $[0, π]$ 上连续，在 $(0, π)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间 $[0, π]$ 内计算 $f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 2 \sin (0) + \sin (2 (0))$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (0) = 2 \cdot 0 + \sin (2 (0))$

解题步骤 7.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + \sin (2 (0))$

解题步骤 7.2.1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + \sin (0)$

解题步骤 7.2.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 7.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 8

求解 $x$ 的 $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (π) + f (0))}{- (π + 0)}$ 。

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解题步骤 8.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$2 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

运用分配律。

$2 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简 $\frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$ 。

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解题步骤 8.3.1.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0 + 0}{π - (0)}$

解题步骤 8.3.1.1.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π - (0)}$

解题步骤 8.3.1.2

化简分母。

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解题步骤 8.3.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π + 0}$

解题步骤 8.3.1.2.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π}$

解题步骤 8.3.1.3

用 $0$ 除以 $π$ 。

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 8.4

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 8.4.1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ 替换 $- 4 \sin^{2} (x)$ 。

$2 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 8.4.2

化简每一项。

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解题步骤 8.4.2.1

运用分配律。

$2 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 8.4.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$2 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 8.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$2 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 8.4.3

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$2 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 8.4.4

重新排列多项式。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 = 0$

解题步骤 8.4.5

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 2 = 0$

解题步骤 8.4.6

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 8.4.6.1

从 $4 u^{2} + 2 u - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 8.4.6.1.1

从 $4 u^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

解题步骤 8.4.6.1.2

从 $2 u$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

解题步骤 8.4.6.1.3

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 (- 1) = 0$

解题步骤 8.4.6.1.4

从 $2 (2 u^{2}) + 2 u$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1) = 0$

解题步骤 8.4.6.1.5

从 $2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

解题步骤 8.4.6.2

因数。

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解题步骤 8.4.6.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 8.4.6.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 8.4.6.2.1.1.1

乘以 $1$ 。

$2 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

解题步骤 8.4.6.2.1.1.2

把 $1$ 重写为 $- 1$ 加 $2$

$2 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

解题步骤 8.4.6.2.1.1.3

运用分配律。

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

解题步骤 8.4.6.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 8.4.6.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

解题步骤 8.4.6.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

解题步骤 8.4.6.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 1$ 来因式分解多项式。

$2 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

解题步骤 8.4.6.2.2

去掉多余的括号。

$2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

解题步骤 8.4.7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 8.4.8

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.4.8.1

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

解题步骤 8.4.8.2

求解 $u$ 的 $2 u - 1 = 0$ 。

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解题步骤 8.4.8.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 u = 1$

解题步骤 8.4.8.2.2

将 $2 u = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 8.4.8.2.2.1

将 $2 u = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 8.4.8.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.8.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.8.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 8.4.8.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{1}{2}$

解题步骤 8.4.9

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.4.9.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 8.4.9.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 8.4.10

最终解为使 $2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{1}{2}, - 1$

解题步骤 8.4.11

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

解题步骤 8.4.12

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 8.4.13

在 $\cos (x) = \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 8.4.13.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 8.4.13.2

化简右边。

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解题步骤 8.4.13.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 8.4.13.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 8.4.13.4

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 8.4.13.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 8.4.13.4.2

合并分数。

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解题步骤 8.4.13.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 8.4.13.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 8.4.13.4.3

化简分子。

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解题步骤 8.4.13.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 8.4.13.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 8.4.13.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 8.4.13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.4.13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 8.4.13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 8.4.13.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 8.4.13.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.4.14

在 $\cos (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 8.4.14.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 8.4.14.2

化简右边。

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解题步骤 8.4.14.2.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 8.4.14.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 8.4.14.4

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 8.4.14.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 8.4.14.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.4.14.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 8.4.14.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 8.4.14.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 8.4.14.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.4.15

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.4.16

合并答案。

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

点 $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = 0$ 和 $b = π$ 的直线平行。

解题步骤 10

微积分学 示例

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