微积分学示例

$f (t) = \frac{\sqrt[3]{t}}{t - 3}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = \sqrt[3]{t}$ 且 $g (t) = t - 3$ 。

$\frac{(t - 3) \frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t}] - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{(t - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}] - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 9

根据加法法则， $t - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 11

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (1 + 0)}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 12

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$\frac{t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.2

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1

组合 $t$ 和 $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{\frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $t^{\frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$\frac{\frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 13.2.3.1

将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 13.2.3.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.4.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.2.4.2

约去公因数。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.2.4.3

重写表达式。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 1 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5

将 $- 1 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 $- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.3

合并项。

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解题步骤 13.3.1

将 $\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.3.2

合并。

$\frac{3 (\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.3.3

运用分配律。

$\frac{3 \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.3.4.2

重写表达式。

$\frac{t^{\frac{1}{3}} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.3.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.3.6

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.3.8

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4

化简分子。

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解题步骤 13.4.1

要将 $t^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.3

化简分子。

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解题步骤 13.4.3.1

通过指数相加将 $t^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $t^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 13.4.3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.3.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{t^{\frac{1 + 2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.3.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{t^{\frac{3}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.3.1.4

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{\frac{t^{1} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.3.2

化简 $t^{1}$ 。

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.4

要将 $- 3 \sqrt[3]{t}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t} \cdot \frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.5

组合 $- 3 \sqrt[3]{t}$ 和 $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{t - 3 - 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.7

化简分子。

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解题步骤 13.4.7.1

乘以 $- 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 13.4.7.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{\frac{t - 3 - 3 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}})}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.7.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{2 + 1}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.7.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{3}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.7.1.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.7.1.5.1

约去公因数。

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{3}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.7.1.5.2

重写表达式。

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{1}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.7.2

化简。

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.4.7.3

从 $t$ 中减去 $3 t$ 。

$\frac{\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.6

将 $\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{3 {(t - 3)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}} (3 {(t - 3)}^{2})}$

解题步骤 13.7

将 $3$ 移到 $t^{\frac{2}{3}}$ 的左侧。

$\frac{- 2 t - 3}{3 \cdot t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.8

从 $- 2 t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 t) - 3}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.9

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$\frac{- (2 t) - 1 (3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.10

从 $- (2 t) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 t + 3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.11

将 $- (2 t + 3)$ 重写为 $- 1 (2 t + 3)$ 。

$\frac{- 1 (2 t + 3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 t + 3}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

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