微积分学示例

$f (x) = e^{x} \sin (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

解题步骤 2.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

解题步骤 2.2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

解题步骤 2.4

合并项。

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解题步骤 2.4.1

将 $\cos (x) e^{x}$ 和 $e^{x} \cos (x)$ 相加。

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解题步骤 2.4.1.1

将 $\cos (x)$ 和 $e^{x}$ 重新排序。

$e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

解题步骤 2.4.1.2

将 $e^{x} \cos (x)$ 和 $e^{x} \cos (x)$ 相加。

$e^{x} (- \sin (x)) + 2 e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

解题步骤 2.4.2

将 $\sin (x)$ 和 $e^{x}$ 重新排序。

$2 e^{x} \cos (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

解题步骤 2.4.3

将 $- 1 e^{x}$ 重写为 $- e^{x}$ 。

$2 e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

解题步骤 2.4.4

将 $- e^{x} \sin (x)$ 和 $e^{x} \sin (x)$ 相加。

$2 e^{x} \cos (x) + 0$

解题步骤 2.4.5

将 $2 e^{x} \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 3.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

解题步骤 3.5.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

解题步骤 3.5.3

重新排序项。

$f''' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

解题步骤 4

$f (x)$ 对 $x$ 的三阶导数是 $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ 。

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

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