微积分学示例

$r^{2} \cos (2 θ) = 1$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简 $r^{2} \cos (2 θ)$ 。

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解题步骤 1.1.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 1$

解题步骤 1.1.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 1.1.2.1

运用分配律。

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

解题步骤 1.1.2.2

重新排序。

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解题步骤 1.1.2.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

解题步骤 1.1.2.2.2

将 $- 1$ 移到 $r^{2}$ 的左侧。

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot r^{2} = 1$

解题步骤 1.1.3

将 $- 1 r^{2}$ 重写为 $- r^{2}$ 。

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} = 1$

解题步骤 2

由于 $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ ，替换 $\cos (θ)$ 为 $\frac{x}{r}$ 。

$2 r^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - r^{2} = 1$

解题步骤 3

由于 $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ，替换 $r^{2}$ 为 $x^{2} + y^{2}$ 并替换 $r$ 为 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 。

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4

书写为标准形式。

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解题步骤 4.1

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1.1

化简 $2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2})$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1.1.1

运用分配律。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.2

将 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 4.1.1.1.3.1

将 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.3.2

对 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.3.3

对 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.3.6

将 ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ 重写为 $x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 重写成 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1.3.6.4.1

约去公因数。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.3.6.4.2

重写表达式。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.3.6.5

化简。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.1.1.1.4.1

对 $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ 运用乘积法则。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.4.2

对 $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 运用乘积法则。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.5

将 ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ 重写为 $x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 重写成 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1.5.4.1

约去公因数。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.5.4.2

重写表达式。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.5.5

化简。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.6

约去 $x^{2} + y^{2}$ 和 ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1.6.1

从 $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ 中分解出因数 $x^{2} + y^{2}$ 。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.1.1.6.2.1

从 ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} + y^{2}$ 。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.6.2.2

约去公因数。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.6.2.3

重写表达式。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.7

将 $2 x^{2} + 2 y^{2}$ 乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 。

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.8

从 $2 x^{2} + 2 y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.1.1.1.8.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.8.2

从 $2 y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 (y^{2})) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.8.3

从 $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.9

约去 $x^{2} + y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1.9.1

约去公因数。

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.9.2

用 $2 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

解题步骤 4.1.1.1.10

运用分配律。

$2 x^{2} - x^{2} - y^{2} = 1$

解题步骤 4.1.1.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$x^{2} - y^{2} = 1$

解题步骤 4.1.2

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

解题步骤 4.1.3

将 $- y^{2} = 1 - x^{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $- y^{2} = 1 - x^{2}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

解题步骤 4.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.1.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

解题步骤 4.1.3.2.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

解题步骤 4.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.3.1.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

解题步骤 4.1.3.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

解题步骤 4.1.3.3.1.3

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

解题步骤 4.1.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

解题步骤 4.1.5

化简 $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

化简表达式。

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解题步骤 4.1.5.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

解题步骤 4.1.5.1.2

将 $- 1^{2}$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 4.1.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 4.1.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 4.1.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 4.1.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 4.2

要以标准形式写出多项式，请进行化简然后按降序排列各项。

$y = a x^{2} + b x + c$

解题步骤 4.3

标准形式是 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 。

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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