微积分学示例

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\sin (x) \cos (x) + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.8

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.1.4.2

将 $- \sin^{2} (x)$ 和 $\cos^{2} (x)$ 重新排序。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 1.1.4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 1.1.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 。

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解题步骤 1.1.4.4.1

运用分配律。

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 1.1.4.4.2

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 1.1.4.4.3

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.4.5

合并 $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.4.5.1

按照 $\cos (x) (- \sin (x))$ 和 $\sin (x) \cos (x)$ 重新排列因数。

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.4.5.2

将 $- \cos (x) \sin (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.4.5.3

将 $\cos (x) \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.4.6

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.6.1

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.1.4.6.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.4.6.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.4.6.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.4.6.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.4.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

解题步骤 1.1.4.6.3

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1.4.6.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

解题步骤 1.1.4.6.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

解题步骤 1.1.4.6.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 1.1.4.6.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 1.1.4.7

使用余弦倍角公式。

$f' (x) = \cos (2 x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\cos (2 x)$ 。

$\cos (2 x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\cos (2 x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\cos (2 x) = 0$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$2 x = \arccos (0)$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$2 x = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.4.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

化简。

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解题步骤 2.6.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.6.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.6.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 2.6.1.5

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.6.2

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.6.2.1

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.6.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.6.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.6.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.6.2.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.6.2.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.7

求 $\cos (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.7.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.7.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.8

$\cos (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.9

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 。

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

解题步骤 4

求出让导数 $f' (x) = \cos (2 x)$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ 。

$(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1))$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

解题步骤 5.2.2.1.2

约去公因数。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

解题步骤 5.2.2.1.3

重写表达式。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

解题步骤 5.2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

解题步骤 5.2.2.2.2

重写表达式。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot - 1)$

解题步骤 5.2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ 。

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

解题步骤 5.3

在 $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ 处，导数为 $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1))$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

运用分配律。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

解题步骤 6.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

解题步骤 6.2.2.1.2

约去公因数。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

解题步骤 6.2.2.1.3

重写表达式。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

解题步骤 6.2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去公因数。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

解题步骤 6.2.2.2.2

重写表达式。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot 1)$

解题步骤 6.2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ 。

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

解题步骤 6.3

在 $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ 处，导数为 $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ 。由于其值为正，函数在 $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

递减于： $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$

解题步骤 8

微积分学 示例

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