微积分学示例

$\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

从 $x - x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{1} - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 5.2.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 5.2.1.3

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 5.2.1.4

从 $x \cdot 1 + x (- x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{x (1 - x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 5.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{3}}$ 移动到分子。

$\frac{1}{2} \int x (1 - x) x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

移动 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x (1 - x) d x$

解题步骤 5.2.3.2

将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x^{1} (1 - x) d x$

解题步骤 5.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + 1} (1 - x) d x$

解题步骤 5.2.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} (1 - x) d x$

解题步骤 5.2.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1 + 3}{3}} (1 - x) d x$

解题步骤 5.2.3.5

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} (1 - x) d x$

解题步骤 6

展开 $x^{\frac{2}{3}} (1 - x)$ 。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

解题步骤 6.2

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

解题步骤 6.3

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} x d x$

解题步骤 6.4

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{\frac{2}{3}} x d x$

解题步骤 6.5

提取负因数。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x) d x$

解题步骤 6.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x^{1}) d x$

解题步骤 6.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + 1} d x$

解题步骤 6.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} d x$

解题步骤 6.9

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2 + 3}{3}} d x$

解题步骤 6.10

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int x^{\frac{5}{3}} d x)$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{\frac{5}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C))$

解题步骤 11

化简。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$

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