微积分学示例

$x^{2} - x - \ln (x)$

解题步骤 1

将 $x^{2} - x - \ln (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - x - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.1.1.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

解题步骤 2.1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $2 x - \frac{1}{x} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

$2 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$2 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.2.3.6

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.2.3.7

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $0$ 。

$2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.2.3.8

将 $x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + x^{- 2} + 0$

解题步骤 2.1.2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

解题步骤 2.1.2.5.2

将 $2 + \frac{1}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$2 + \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.5.3

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{1}{x^{2}} + 2$ 。

$\frac{1}{x^{2}} + 2$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$

解题步骤 2.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$\frac{1}{x^{2}} = - 2$

解题步骤 2.2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{2}, 1$

解题步骤 2.2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1

将 $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

解题步骤 2.2.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

解题步骤 2.2.4.2.1.2

重写表达式。

$1 = - 2 x^{2}$

解题步骤 2.2.5

求解方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.1

将方程重写为 $- 2 x^{2} = 1$ 。

$- 2 x^{2} = 1$

解题步骤 2.2.5.2

将 $- 2 x^{2} = 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.2.1

将 $- 2 x^{2} = 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 2.2.5.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 2.2.5.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 2.2.5.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.2.5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.2.5.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.4.1

将 $- \frac{1}{2}$ 重写为 $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.2.5.4.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

解题步骤 2.2.5.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

解题步骤 2.2.5.4.3

一的任意次幂都为一。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.2.5.4.4

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.2.5.4.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.2.5.4.6

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 2.2.5.4.7

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.4.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.2.5.4.7.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.2.5.4.7.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 2.2.5.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.2.5.4.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 2.2.5.4.7.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.5.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.5.4.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.5.4.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.4.7.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.5.4.7.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 2.2.5.4.7.6.5

计算指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.2.5.4.8

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.2.5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.2.5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.2.5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3

求 $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x > 0$

解题步骤 3.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(0, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}} + 2$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2$

解题步骤 5.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 5.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f'' (2) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.2.4

在公分母上合并分子。

$f'' (2) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (2) = \frac{1 + 8}{4}$

解题步骤 5.2.5.2

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$f'' (2) = \frac{9}{4}$

解题步骤 5.2.6

最终答案为 $\frac{9}{4}$ 。

$\frac{9}{4}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(0, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (2)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例