微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{e^{7 x}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x}}$

解题步骤 1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x}}$

解题步骤 1.3

因为指数 $7 x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{7 x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{e^{7 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

解题步骤 3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

解题步骤 3.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

解题步骤 3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

解题步骤 3.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3 x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

解题步骤 3.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

解题步骤 3.5.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

解题步骤 3.7

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

解题步骤 3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 7 x$ 。

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解题步骤 3.8.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x]}$

解题步骤 3.8.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x]}$

解题步骤 3.8.3

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]}$

解题步骤 3.9

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} (7 \cdot 1)}$

解题步骤 3.11

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} \cdot 7}$

解题步骤 3.12

将 $7$ 移到 $e^{7 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{7 \cdot e^{7 x}}$

解题步骤 3.13

将 $7$ 乘以 $e^{7 x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{7 e^{7 x}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{7 e^{7 x}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (7 e^{7 x})}$

解题步骤 5.2

因为项 $\frac{1}{7}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{7 x})}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x (e^{7 x})}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{7} \cdot 0$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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