微积分学示例

$y = x^{4} + 9 e^{x}$ , $(0, 9)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 9$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 9 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [9 e^{x}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$4 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 x^{3} + 9 e^{x}$

解题步骤 1.3

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$4 {(0)}^{3} + 9 e^{0}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 \cdot 0 + 9 e^{0}$

解题步骤 1.4.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 + 9 e^{0}$

解题步骤 1.4.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 9 \cdot 1$

解题步骤 1.4.1.4

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$0 + 9$

解题步骤 1.4.2

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$9$

解题步骤 2

法线垂直于切线。取切线斜率的负倒数来求法线的斜率。

$- \frac{1}{9}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- \frac{1}{9}$ 和给定点 $(0, 9)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (9) = - \frac{1}{9} \cdot (x - (0))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 9 = - \frac{1}{9} \cdot (x + 0)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- \frac{1}{9} \cdot (x + 0)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - 9 = - \frac{1}{9} \cdot x$

解题步骤 3.3.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$y - 9 = - \frac{x}{9}$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$y = - \frac{x}{9} + 9$

解题步骤 3.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 3.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{1}{9} x) + 9$

解题步骤 3.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{1}{9} x + 9$

解题步骤 4

微积分学 示例

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