微积分学示例

$5 \csc (x) \sec (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \csc (x) \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$5 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 1.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$5 (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 1.4

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$5 (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$5 (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$5 \csc (x) \sec (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

解题步骤 1.5.3

重新排序项。

$f' (x) = 5 \csc (x) \sec (x) \tan (x) - 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 \csc (x) \sec (x) \tan (x) - 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc (x) \sec (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$5 (\csc (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 2.2.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$5 (\csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 2.2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$5 (\csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 2.2.5

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$5 (\csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 2.2.6

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$5 (\csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 2.2.7

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.2.7.1

移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$5 (\csc (x) (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 2.2.7.2

将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 2.2.7.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (\csc (x) (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 2.2.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 (\csc (x) {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 2.2.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ 。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cot (x) \csc (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)])$

解题步骤 2.3.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)])$

解题步骤 2.3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]))$

解题步骤 2.3.5

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]))$

解题步骤 2.3.6

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

解题步骤 2.3.7

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

解题步骤 2.3.8

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

解题步骤 2.3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

解题步骤 2.3.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

解题步骤 2.3.11

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x))))$

解题步骤 2.3.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2}))$

解题步骤 2.3.13

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)))$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)))$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x)) + 5 (\tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)))$

解题步骤 2.4.3

运用分配律。

解题步骤 2.4.4

运用分配律。

$5 (\csc (x) \sec^{3} (x)) + 5 (\tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

解题步骤 2.4.5

合并项。

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解题步骤 2.4.5.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 (\tan^{1} (x) \tan (x) (\csc (x) \sec (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

解题步骤 2.4.5.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) (\csc (x) \sec (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

解题步骤 2.4.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 ({\tan (x)}^{1 + 1} (\csc (x) \sec (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

解题步骤 2.4.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 (\tan^{2} (x) (\csc (x) \sec (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

解题步骤 2.4.5.5

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 5 (\tan (x) \sec (x) (\csc (x) \cot (x))) - 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

解题步骤 2.4.5.6

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 5 \tan (x) \sec (x) \csc (x) \cot (x) - 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 (\sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

解题步骤 2.4.5.7

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 5 \tan (x) \sec (x) \csc (x) \cot (x) - 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 (\sec (x) (\csc^{3} (x)))$

解题步骤 2.4.5.8

重新排序 $- 5 \tan (x) \sec (x) \csc (x) \cot (x)$ 的因式。

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) - 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 \sec (x) \csc^{3} (x)$

解题步骤 2.4.5.9

从 $- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ 中减去 $5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ 。

$5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 10 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 \sec (x) \csc^{3} (x)$

解题步骤 2.4.6

重新排序项。

$f'' (x) = 5 \sec^{3} (x) \csc (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 10 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + 5 \csc^{3} (x) \sec (x)$

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