微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 x^{2}}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

解题步骤 1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将 $x$ 和 $- x^{3}$ 重新排序。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{3} + x}$

解题步骤 1.3.2

首项系数为负的多项式在趋于无穷时的极限是负无穷。

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 1.3.3

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{- \infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

解题步骤 3.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $x - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

解题步骤 3.7

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - (3 x^{2})}$

解题步骤 3.7.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - 3 x^{2}}$

解题步骤 3.8

重新排序项。

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{- 3 x^{2} + 1}$

解题步骤 4

因为项 $14$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$14 lim_{x \to \infty} \frac{x}{- 3 x^{2} + 1}$

解题步骤 5

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 6

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 6.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 6.1.3

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 6.1.3.2

约去公因数。

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 6.1.3.3

重写表达式。

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 6.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 6.2.2

用 $- 3$ 除以 $1$ 。

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 6.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$14 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$14 \frac{0}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 8

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$14 \frac{0}{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 8.2

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$14 \frac{0}{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 9

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$14 \frac{0}{- 3 + 0}$

解题步骤 10

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

约去 $0$ 和 $- 3 + 0$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$14 \frac{3 (0)}{- 3 + 0}$

解题步骤 10.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1.2.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot - 1 + 0}$

解题步骤 10.1.2.2

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 10.1.2.3

从 $3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0$ 中分解出因数 $3$ 。

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

解题步骤 10.1.2.4

约去公因数。

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

解题步骤 10.1.2.5

重写表达式。

$14 \frac{0}{- 1 + 0}$

解题步骤 10.2

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$14 (\frac{0}{- 1})$

解题步骤 10.3

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$14 \cdot 0$

解题步骤 10.4

将 $14$ 乘以 $0$ 。

$0$

微积分学 示例

微积分学示例