微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{3 x^{2} - 7 x}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} - 7 x}$

解题步骤 1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} - 7 x}$

解题步骤 1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{3 x^{2} - 7 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $3 x^{2} - 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

解题步骤 3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.3

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7}$

解题步骤 4

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

解题步骤 5

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

解题步骤 5.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x^{1}}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

解题步骤 5.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

解题步骤 5.1.2.3

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

解题步骤 5.1.2.4

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

解题步骤 5.1.2.5

用 $4 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $6$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 + \frac{- 7}{x}}$

解题步骤 5.2.2

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 - \frac{7}{x}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{7}{x}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 - 0}$

解题步骤 7

因为当其分母趋于一个常数时其分子无限大，所以分式 $\frac{4 x^{2}}{6 - 0}$ 趋于无穷大。

$\infty$

微积分学 示例

微积分学示例