微积分学示例

$y = x {(3 x + 4)}^{5}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(3 x + 4)}^{5}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{5}] + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = 3 x + 4$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x + 4$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 x + 4]) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 x + 4]) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3

使用 $3 x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (5 {(3 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x + 4]) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $3 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$x (5 {(3 x + 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (5 {(3 x + 4)}^{4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (5 {(3 x + 4)}^{4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x (5 {(3 x + 4)}^{4} (3 + \frac{d}{d x} [4])) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (5 {(3 x + 4)}^{4} (3 + 0)) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$x (5 {(3 x + 4)}^{4} \cdot 3) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.6.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$x (15 {(3 x + 4)}^{4}) + {(3 x + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (15 {(3 x + 4)}^{4}) + {(3 x + 4)}^{5} \cdot 1$

解题步骤 1.3.8

将 ${(3 x + 4)}^{5}$ 乘以 $1$ 。

$x (15 {(3 x + 4)}^{4}) + {(3 x + 4)}^{5}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

从 $x (15 {(3 x + 4)}^{4}) + {(3 x + 4)}^{5}$ 中分解出因数 ${(3 x + 4)}^{4}$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

从 $x (15 {(3 x + 4)}^{4})$ 中分解出因数 ${(3 x + 4)}^{4}$ 。

${(3 x + 4)}^{4} (x \cdot (15)) + {(3 x + 4)}^{5}$

解题步骤 1.4.1.2

从 ${(3 x + 4)}^{5}$ 中分解出因数 ${(3 x + 4)}^{4}$ 。

${(3 x + 4)}^{4} (x \cdot (15)) + {(3 x + 4)}^{4} (3 x + 4)$

解题步骤 1.4.1.3

从 ${(3 x + 4)}^{4} (x \cdot (15)) + {(3 x + 4)}^{4} (3 x + 4)$ 中分解出因数 ${(3 x + 4)}^{4}$ 。

${(3 x + 4)}^{4} (x \cdot (15) + 3 x + 4)$

解题步骤 1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $15$ 移到 $x$ 的左侧。

${(3 x + 4)}^{4} (15 \cdot x + 3 x + 4)$

解题步骤 1.4.2.2

将 $15 x$ 和 $3 x$ 相加。

$f' (x) = {(3 x + 4)}^{4} (18 x + 4)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(3 x + 4)}^{4}$ 且 $g (x) = 18 x + 4$ 。

${(3 x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [18 x + 4] + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $18 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

${(3 x + 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

解题步骤 2.2.2

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 x$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [x]$ 。

${(3 x + 4)}^{4} (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

${(3 x + 4)}^{4} (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

解题步骤 2.2.4

将 $18$ 乘以 $1$ 。

${(3 x + 4)}^{4} (18 + \frac{d}{d x} [4]) + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

解题步骤 2.2.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(3 x + 4)}^{4} (18 + 0) + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

解题步骤 2.2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $18$ 和 $0$ 相加。

${(3 x + 4)}^{4} \cdot 18 + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

解题步骤 2.2.6.2

将 $18$ 移到 ${(3 x + 4)}^{4}$ 的左侧。

$18 \cdot {(3 x + 4)}^{4} + (18 x + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{4}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 3 x + 4$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x + 4$ 。

$18 {(3 x + 4)}^{4} + (18 x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$18 {(3 x + 4)}^{4} + (18 x + 4) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

解题步骤 2.3.3

使用 $3 x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$18 {(3 x + 4)}^{4} + (18 x + 4) (4 {(3 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

将 $4$ 移到 $18 x + 4$ 的左侧。

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 4 \cdot (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

解题步骤 2.4.2

根据加法法则， $3 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 4 (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.4.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 4 (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 4 (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.4.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 4 (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 2.4.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 4 (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3} (3 + 0)$

解题步骤 2.4.7

化简表达式。

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解题步骤 2.4.7.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 4 (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3} \cdot 3$

解题步骤 2.4.7.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$18 {(3 x + 4)}^{4} + 12 (18 x + 4) {(3 x + 4)}^{3}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$18 {(3 x + 4)}^{4} + (12 (18 x) + 12 \cdot 4) {(3 x + 4)}^{3}$

解题步骤 2.5.2

将 $18$ 乘以 $12$ 。

$18 {(3 x + 4)}^{4} + (216 x + 12 \cdot 4) {(3 x + 4)}^{3}$

解题步骤 2.5.3

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$18 {(3 x + 4)}^{4} + (216 x + 48) {(3 x + 4)}^{3}$

解题步骤 2.5.4

从 $18 {(3 x + 4)}^{4} + (216 x + 48) {(3 x + 4)}^{3}$ 中分解出因数 ${(3 x + 4)}^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.4.1

从 $18 {(3 x + 4)}^{4}$ 中分解出因数 ${(3 x + 4)}^{3}$ 。

${(3 x + 4)}^{3} (18 (3 x + 4)) + (216 x + 48) {(3 x + 4)}^{3}$

解题步骤 2.5.4.2

从 $(216 x + 48) {(3 x + 4)}^{3}$ 中分解出因数 ${(3 x + 4)}^{3}$ 。

${(3 x + 4)}^{3} (18 (3 x + 4)) + {(3 x + 4)}^{3} (216 x + 48)$

解题步骤 2.5.4.3

从 ${(3 x + 4)}^{3} (18 (3 x + 4)) + {(3 x + 4)}^{3} (216 x + 48)$ 中分解出因数 ${(3 x + 4)}^{3}$ 。

$f'' (x) = {(3 x + 4)}^{3} (18 (3 x + 4) + 216 x + 48)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

化简项。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3} (18 (3 x) + 18 \cdot 4 + 216 x + 48)]$

解题步骤 3.1.1.2

将 $3$ 乘以 $18$ 。

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3} (54 x + 18 \cdot 4 + 216 x + 48)]$

解题步骤 3.1.1.3

将 $18$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3} (54 x + 72 + 216 x + 48)]$

解题步骤 3.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $54 x$ 和 $216 x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3} (270 x + 72 + 48)]$

解题步骤 3.1.2.2

将 $72$ 和 $48$ 相加。

$\frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3} (270 x + 120)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(3 x + 4)}^{3}$ 且 $g (x) = 270 x + 120$ 。

${(3 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [270 x + 120] + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $270 x + 120$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [270 x] + \frac{d}{d x} [120]$ 。

${(3 x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [270 x] + \frac{d}{d x} [120]) + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

解题步骤 3.3.2

因为 $270$ 对于 $x$ 是常数，所以 $270 x$ 对 $x$ 的导数是 $270 \frac{d}{d x} [x]$ 。

${(3 x + 4)}^{3} (270 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [120]) + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

${(3 x + 4)}^{3} (270 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [120]) + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

解题步骤 3.3.4

将 $270$ 乘以 $1$ 。

${(3 x + 4)}^{3} (270 + \frac{d}{d x} [120]) + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

解题步骤 3.3.5

因为 $120$ 对于 $x$ 是常数，所以 $120$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

${(3 x + 4)}^{3} (270 + 0) + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

解题步骤 3.3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $270$ 和 $0$ 相加。

${(3 x + 4)}^{3} \cdot 270 + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

解题步骤 3.3.6.2

将 $270$ 移到 ${(3 x + 4)}^{3}$ 的左侧。

$270 \cdot {(3 x + 4)}^{3} + (270 x + 120) \frac{d}{d x} [{(3 x + 4)}^{3}]$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 3 x + 4$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x + 4$ 。

$270 {(3 x + 4)}^{3} + (270 x + 120) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$270 {(3 x + 4)}^{3} + (270 x + 120) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

解题步骤 3.4.3

使用 $3 x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$270 {(3 x + 4)}^{3} + (270 x + 120) (3 {(3 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

将 $3$ 移到 $270 x + 120$ 的左侧。

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 3 \cdot (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

解题步骤 3.5.2

根据加法法则， $3 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 3 (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.5.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 3 (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 3 (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.5.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 3 (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2} (3 + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 3.5.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 3 (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2} (3 + 0)$

解题步骤 3.5.7

化简表达式。

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解题步骤 3.5.7.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 3 (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2} \cdot 3$

解题步骤 3.5.7.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$270 {(3 x + 4)}^{3} + 9 (270 x + 120) {(3 x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$270 {(3 x + 4)}^{3} + (9 (270 x) + 9 \cdot 120) {(3 x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.6.2

将 $270$ 乘以 $9$ 。

$270 {(3 x + 4)}^{3} + (2430 x + 9 \cdot 120) {(3 x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.6.3

将 $9$ 乘以 $120$ 。

$270 {(3 x + 4)}^{3} + (2430 x + 1080) {(3 x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.6.4

从 $270 {(3 x + 4)}^{3} + (2430 x + 1080) {(3 x + 4)}^{2}$ 中分解出因数 ${(3 x + 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.4.1

从 $270 {(3 x + 4)}^{3}$ 中分解出因数 ${(3 x + 4)}^{2}$ 。

${(3 x + 4)}^{2} (270 (3 x + 4)) + (2430 x + 1080) {(3 x + 4)}^{2}$

解题步骤 3.6.4.2

从 $(2430 x + 1080) {(3 x + 4)}^{2}$ 中分解出因数 ${(3 x + 4)}^{2}$ 。

${(3 x + 4)}^{2} (270 (3 x + 4)) + {(3 x + 4)}^{2} (2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.4.3

从 ${(3 x + 4)}^{2} (270 (3 x + 4)) + {(3 x + 4)}^{2} (2430 x + 1080)$ 中分解出因数 ${(3 x + 4)}^{2}$ 。

${(3 x + 4)}^{2} (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.5

将 ${(3 x + 4)}^{2}$ 重写为 $(3 x + 4) (3 x + 4)$ 。

$(3 x + 4) (3 x + 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.6

使用 FOIL 方法展开 $(3 x + 4) (3 x + 4)$ 。

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解题步骤 3.6.6.1

运用分配律。

$(3 x (3 x + 4) + 4 (3 x + 4)) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.6.2

运用分配律。

$(3 x (3 x) + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x + 4)) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.6.3

运用分配律。

$(3 x (3 x) + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.6.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.7.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.7.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.7.1.2.1

移动 $x$ 。

$(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.7.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.7.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$(9 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.7.1.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$(9 x^{2} + 12 x + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.7.1.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$(9 x^{2} + 12 x + 12 x + 4 \cdot 4) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.7.1.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$(9 x^{2} + 12 x + 12 x + 16) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.7.2

将 $12 x$ 和 $12 x$ 相加。

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (270 (3 x + 4) + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.8

化简每一项。

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解题步骤 3.6.8.1

运用分配律。

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (270 (3 x) + 270 \cdot 4 + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.8.2

将 $3$ 乘以 $270$ 。

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (810 x + 270 \cdot 4 + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.8.3

将 $270$ 乘以 $4$ 。

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (810 x + 1080 + 2430 x + 1080)$

解题步骤 3.6.9

将 $810 x$ 和 $2430 x$ 相加。

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (3240 x + 1080 + 1080)$

解题步骤 3.6.10

将 $1080$ 和 $1080$ 相加。

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (3240 x + 2160)$

解题步骤 3.6.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(9 x^{2} + 24 x + 16) (3240 x + 2160)$ 。

$9 x^{2} (3240 x) + 9 x^{2} \cdot 2160 + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

解题步骤 3.6.12

化简每一项。

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解题步骤 3.6.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$9 \cdot 3240 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot 2160 + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

解题步骤 3.6.12.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.12.2.1

移动 $x$ 。

$9 \cdot 3240 (x \cdot x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 2160 + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

解题步骤 3.6.12.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.12.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 \cdot 3240 (x^{1} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 2160 + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

解题步骤 3.6.12.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 \cdot 3240 x^{1 + 2} + 9 x^{2} \cdot 2160 + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

解题步骤 3.6.12.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$9 \cdot 3240 x^{3} + 9 x^{2} \cdot 2160 + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

解题步骤 3.6.12.3

将 $9$ 乘以 $3240$ 。

$29160 x^{3} + 9 x^{2} \cdot 2160 + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

解题步骤 3.6.12.4

将 $2160$ 乘以 $9$ 。

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 24 x (3240 x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

解题步骤 3.6.12.5

使用乘法的交换性质重写。

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 24 \cdot 3240 x \cdot x + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

解题步骤 3.6.12.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.12.6.1

移动 $x$ 。

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 24 \cdot 3240 (x \cdot x) + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

解题步骤 3.6.12.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 24 \cdot 3240 x^{2} + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

解题步骤 3.6.12.7

将 $24$ 乘以 $3240$ 。

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 77760 x^{2} + 24 x \cdot 2160 + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

解题步骤 3.6.12.8

将 $2160$ 乘以 $24$ 。

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 77760 x^{2} + 51840 x + 16 (3240 x) + 16 \cdot 2160$

解题步骤 3.6.12.9

将 $3240$ 乘以 $16$ 。

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 77760 x^{2} + 51840 x + 51840 x + 16 \cdot 2160$

解题步骤 3.6.12.10

将 $16$ 乘以 $2160$ 。

$29160 x^{3} + 19440 x^{2} + 77760 x^{2} + 51840 x + 51840 x + 34560$

解题步骤 3.6.13

将 $19440 x^{2}$ 和 $77760 x^{2}$ 相加。

$29160 x^{3} + 97200 x^{2} + 51840 x + 51840 x + 34560$

解题步骤 3.6.14

将 $51840 x$ 和 $51840 x$ 相加。

$f''' (x) = 29160 x^{3} + 97200 x^{2} + 103680 x + 34560$

微积分学 示例

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