微积分学示例

$y = \sec (x) \csc (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 1.2

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 1.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\sec (x) \tan (x))$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$f' (x) = - \cot (x) \csc (x) \sec (x) + \csc (x) \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \cot (x) \csc (x) \sec (x) + \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cot (x) \csc (x) \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ 。

$- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cot (x) \csc (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$- (\cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 2.2.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$- (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 2.2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

$- (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 2.2.5

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$- (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 2.2.6

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$- (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 2.2.7

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 2.2.8

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 2.2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 2.2.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 2.2.11

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 2.2.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 2.2.13

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc (x) \sec (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 2.3.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)]$

解题步骤 2.3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 2.3.4

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 2.3.5

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.3.6

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.3.6.1

移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.3.6.2

将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 2.3.6.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.3.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.3.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x)) + \sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.4.3

运用分配律。

$- (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.4.4

合并项。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 1 (\sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.4.4.2

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x)) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.4.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 1 (\sec (x) (\csc^{3} (x))) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.4.4.4

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.4.4.5

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.4.4.6

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.4.4.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.4.4.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 2.4.4.9

重新排序 $\tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))$ 的因式。

$- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4.4.10

从 $- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ 中减去 $\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ 。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x) + \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x)$

解题步骤 2.4.5

重新排序项。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x)$

解题步骤 2.4.6

化简每一项。

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解题步骤 2.4.6.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \csc (x) \sec (x)$

解题步骤 2.4.6.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

解题步骤 2.4.6.3

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

解题步骤 2.4.6.4

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.6.4.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

解题步骤 2.4.6.4.2

约去公因数。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

解题步骤 2.4.6.4.3

重写表达式。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} \sec (x)$

解题步骤 2.4.6.5

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} \sec (x)$

解题步骤 2.4.6.6

分离分数。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x)$

解题步骤 2.4.6.7

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) \sec (x)$

解题步骤 2.4.6.8

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec (x) \tan (x) \sec (x)$

解题步骤 2.4.6.9

乘以 $\sec (x) \tan (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 2.4.6.9.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4.6.9.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4.6.9.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

解题步骤 2.4.6.9.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec^{2} (x) \tan (x)$

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