微积分学示例

$f (x) = 3 x - 3 \cos (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $3 x - 3 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$3 - 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$3 - 3 (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = 3 + 3 \sin (x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 + 3 \sin (x)$ 。

$3 + 3 \sin (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 + 3 \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 + 3 \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$3 \sin (x) = - 3$

解题步骤 2.3

将 $3 \sin (x) = - 3$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $3 \sin (x) = - 3$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 3}{3}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 3}{3}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $- 3$ 除以 $3$ 。

$\sin (x) = - 1$

解题步骤 2.4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 2.5

化简右边。

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解题步骤 2.5.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.6

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 2.7

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.7.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 2.7.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.8

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.8.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.9

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.9.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 2.9.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.9.3

合并分数。

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解题步骤 2.9.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.9.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 2.9.4

化简分子。

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解题步骤 2.9.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 2.9.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.9.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.10

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.11

合并答案。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 。

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$

解题步骤 4

求出让导数 $f' (x) = 3 + 3 \sin (x)$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = 3 x - 3 \cos (x)$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ 。

$(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1) = 3 + 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

解题步骤 5.2

最终答案为 $3 + 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ 。

$3 + 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

解题步骤 5.3

化简。

$3 + 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

解题步骤 5.4

在 $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ 处，导数为 $3 + 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1) = 3 + 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

解题步骤 6.2

最终答案为 $3 + 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ 。

$3 + 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

解题步骤 6.3

化简。

$3 + 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

解题步骤 6.4

在 $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ 处，导数为 $3 + 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ 。由于其值为正，函数在 $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

递减于： $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$

解题步骤 8

微积分学 示例

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