微积分学示例

$4 x^{2} - 6 x^{4}$

解题步骤 1

将 $4 x^{2} - 6 x^{4}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 4 x^{2} - 6 x^{4}$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $4 x^{2} - 6 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$8 x - 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$8 x - 6 (4 x^{3})$

解题步骤 2.1.3.3

将 $4$ 乘以 $- 6$ 。

$8 x - 24 x^{3}$

解题步骤 2.1.4

重新排序项。

$f' (x) = - 24 x^{3} + 8 x$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 24 x^{3} + 8 x$ 。

$- 24 x^{3} + 8 x$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 24 x^{3} + 8 x = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 24 x^{3} + 8 x = 0$

解题步骤 3.2

从 $- 24 x^{3} + 8 x$ 中分解出因数 $- 8 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $- 24 x^{3}$ 中分解出因数 $- 8 x$ 。

$- 8 x (3 x^{2}) + 8 x = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $8 x$ 中分解出因数 $- 8 x$ 。

$- 8 x (3 x^{2}) - 8 x \cdot - 1 = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $- 8 x (3 x^{2}) - 8 x (- 1)$ 中分解出因数 $- 8 x$ 。

$- 8 x (3 x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$3 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5

将 $3 x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $3 x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $x$ 的 $3 x^{2} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 x^{2} = 1$

解题步骤 3.5.2.2

将 $3 x^{2} = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将 $3 x^{2} = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.5.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.5.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3.5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 3.5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.5.2.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.5.2.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 3.5.2.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.2.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.5.2.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.4.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 3.5.2.4.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3.6

最终解为使 $- 8 x (3 x^{2} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $0, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$0, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1.57735026$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1.57735026) = - 24 {(- 1.57735026)}^{3} + 8 (- 1.57735026)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1.57735026$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 1.57735026) = - 24 \cdot - 3.92450082 + 8 (- 1.57735026)$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 24$ 乘以 $- 3.92450082$ 。

$f' (- 1.57735026) = 94.18801988 + 8 (- 1.57735026)$

解题步骤 6.2.1.3

将 $8$ 乘以 $- 1.57735026$ 。

$f' (- 1.57735026) = 94.18801988 - 12.61880208$

解题步骤 6.2.2

从 $94.18801988$ 中减去 $12.61880208$ 。

$f' (- 1.57735026) = 81.5692178$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $81.5692178$ 。

$81.5692178$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1.57735026$ 处，导数为 $81.5692178$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 0.57735026, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 0.28867513$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.28867513) = - 24 {(- 0.28867513)}^{3} + 8 (- 0.28867513)$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- 0.28867513$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 0.28867513) = - 24 \cdot - 0.02405626 + 8 (- 0.28867513)$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 24$ 乘以 $- 0.02405626$ 。

$f' (- 0.28867513) = 0.57735024 + 8 (- 0.28867513)$

解题步骤 7.2.1.3

将 $8$ 乘以 $- 0.28867513$ 。

$f' (- 0.28867513) = 0.57735024 - 2.30940104$

解题步骤 7.2.2

从 $0.57735024$ 中减去 $2.30940104$ 。

$f' (- 0.28867513) = - 1.73205079$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 1.73205079$ 。

$- 1.73205079$

解题步骤 7.3

在 $x = - 0.28867513$ 处，导数为 $- 1.73205079$ 。由于其值为负，函数在 $(- 0.57735026, 0)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, 0)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.28867513$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.28867513) = - 24 {(0.28867513)}^{3} + 8 (0.28867513)$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0.28867513$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (0.28867513) = - 24 \cdot 0.02405626 + 8 (0.28867513)$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 24$ 乘以 $0.02405626$ 。

$f' (0.28867513) = - 0.57735024 + 8 (0.28867513)$

解题步骤 8.2.1.3

将 $8$ 乘以 $0.28867513$ 。

$f' (0.28867513) = - 0.57735024 + 2.30940104$

解题步骤 8.2.2

将 $- 0.57735024$ 和 $2.30940104$ 相加。

$f' (0.28867513) = 1.73205079$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $1.73205079$ 。

$1.73205079$

解题步骤 8.3

在 $x = 0.28867513$ 处，导数为 $1.73205079$ 。由于其值为正，函数在 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递增

解题步骤 9

将区间 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $1.57735026$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1.57735026) = - 24 {(1.57735026)}^{3} + 8 (1.57735026)$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

对 $1.57735026$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (1.57735026) = - 24 \cdot 3.92450082 + 8 (1.57735026)$

解题步骤 9.2.1.2

将 $- 24$ 乘以 $3.92450082$ 。

$f' (1.57735026) = - 94.18801988 + 8 (1.57735026)$

解题步骤 9.2.1.3

将 $8$ 乘以 $1.57735026$ 。

$f' (1.57735026) = - 94.18801988 + 12.61880208$

解题步骤 9.2.2

将 $- 94.18801988$ 和 $12.61880208$ 相加。

$f' (1.57735026) = - 81.5692178$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $- 81.5692178$ 。

$- 81.5692178$

解题步骤 9.3

在 $x = 1.57735026$ 处，导数为 $- 81.5692178$ 。由于其值为负，函数在 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 上递减

解题步骤 10

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}), (0, \frac{\sqrt{3}}{3})$

递减于： $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, 0), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

解题步骤 11

微积分学 示例

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