微积分学示例

$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} + x - \sqrt{5} x^{- 2} + 7 x - 3$

解题步骤 1

根据加法法则， $2 x^{4} - 3 x^{3} + x - \sqrt{5} x^{- 2} + 7 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$8 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$8 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $- \sqrt{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sqrt{5} x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \sqrt{5} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 。

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 - \sqrt{5} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 - \sqrt{5} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 5.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d x} [7 x]$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 6.3

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 7

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 + 0$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} \frac{1}{x^{3}} + 7 + 0$

解题步骤 8.2

合并项。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{1}{x^{3}}$ 和 $2$ 。

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{2}{x^{3}} \sqrt{5} + 7 + 0$

解题步骤 8.2.2

组合 $\frac{2}{x^{3}}$ 和 $\sqrt{5}$ 。

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 7 + 0$

解题步骤 8.2.3

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8 + 0$

解题步骤 8.2.4

将 $8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8$ 和 $0$ 相加。

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8$

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