微积分学示例

$f (x) = 2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x - 1}{u}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{x - 1}{u}$ 。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

解题步骤 2.2

$\arcsin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 。

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{x - 1}{u}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}]$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{1}{u}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x - 1}{u}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ 。

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + 0)$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \cdot 1$

解题步骤 3.7.2

将 $\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{x - 1}{u}$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{u \sqrt{1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2}}{u^{2}} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

解题步骤 4.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

解题步骤 4.2.3

将 $\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$ 重写为 $\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1

从 $u^{2} - {(x - 1)}^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2}}}}$

解题步骤 4.2.3.1.2

从 $u^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $u^{2}$ 。

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}}}$

解题步骤 4.2.3.1.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}$ 。

$\frac{2}{u \sqrt{{(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}}$

解题步骤 4.2.3.2

从根式下提出各项。

$\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$

解题步骤 4.2.4

组合 $\frac{1}{u}$ 和 $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{2}{u \frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

解题步骤 4.2.5

组合 $u$ 和 $\frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}$ 。

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

解题步骤 4.2.6

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.1

约去公因数。

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

解题步骤 4.2.6.2

用 $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{2}{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$

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