微积分学示例

$f (x) = 2 \ln (\csc (x^{2}))$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \ln (\csc (x^{2}))$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \csc (x^{2})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\csc (x^{2})$ 。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

解题步骤 2.3

使用 $\csc (x^{2})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (\frac{1}{\csc (x^{2})} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

解题步骤 3

将 $\csc (x^{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 (\frac{1}{\frac{1}{\sin (x^{2})}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

解题步骤 4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ 。

$2 (1 \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

解题步骤 5

将 $\sin (x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$2 (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2}$ 。

$2 \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6.2

$\csc (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 。

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7

使用幂法则求微分。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (x^{2}) (\csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)$

解题步骤 7.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

重新排序 $- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$ 的因式。

$- 4 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

解题步骤 8.2

将 $\cot (x^{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

解题步骤 8.3

乘以 $- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 。

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解题步骤 8.3.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 。

$x \frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

解题步骤 8.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 。

$\frac{x (- 4 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

解题步骤 8.4

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

解题步骤 8.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

解题步骤 8.6

将 $\csc (x^{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

解题步骤 8.7

乘以 $- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ 。

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解题步骤 8.7.1

将 $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ 乘以 $\frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 。

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

解题步骤 8.7.2

对 $\sin (x^{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

解题步骤 8.7.3

对 $\sin (x^{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x^{2})$

解题步骤 8.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x^{2})$

解题步骤 8.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

解题步骤 8.8

约去 $\sin (x^{2})$ 的公因数。

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解题步骤 8.8.1

将 $- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

解题步骤 8.8.2

从 $\sin^{2} (x^{2})$ 中分解出因数 $\sin (x^{2})$ 。

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

解题步骤 8.8.3

约去公因数。

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

解题步骤 8.8.4

重写表达式。

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 8.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

解题步骤 8.10

分离分数。

$- (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})})$

解题步骤 8.11

将 $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ 转换成 $\cot (x^{2})$ 。

$- (\frac{4 x}{1} \cot (x^{2}))$

解题步骤 8.12

用 $4 x$ 除以 $1$ 。

$- (4 x \cot (x^{2}))$

解题步骤 8.13

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x \cot (x^{2})$

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