微积分学示例

$f (x) = - 3 \cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$

解题步骤 1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos^{2} (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$- 3 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 3 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

解题步骤 4

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

解题步骤 4.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

解题步骤 5.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

解题步骤 6

将 $2$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$- 3 (\cos^{3} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 7

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 3 (\cos^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \sin (x))$

解题步骤 9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x))$

解题步骤 10

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x))$

解题步骤 11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x))$

解题步骤 12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$- 3 \cos^{3} (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$

解题步骤 13.2

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$- 3 \cos^{3} (x) + 6 \sin^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 13.3

重新排序项。

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \cos^{3} (x)$

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