微积分学示例

$f (x) = 3 - \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 - \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}]$

解题步骤 1.2

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d y} [- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 6$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d y} [\frac{y}{1 - 2 y^{2}}]$ 。

$0 - 6 \frac{d}{d y} [\frac{y}{1 - 2 y^{2}}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = 1 - 2 y^{2}$ 。

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [1 - 2 y^{2}]}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [1 - 2 y^{2}]}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $1 - 2 y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ 。

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}])}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y (0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}])}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y (0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}])}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y (0 - 2 (2 y))}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8

将 $1 - 2 y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} - y (0 - 2 (2 y))}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} - y (0 - 4 y)}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.10

从 $0$ 中减去 $4 y$ 。

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} - y (- 4 y)}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.11

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 y \cdot y}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.12

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 (y^{1} y)}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.13

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 (y^{1} y^{1})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 y^{1 + 1}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.16

将 $- 2 y^{2}$ 和 $4 y^{2}$ 相加。

$0 - 6 \frac{1 + 2 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.17

组合 $- 6$ 和 $\frac{1 + 2 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$ 。

$0 + \frac{- 6 (1 + 2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.18

将负号移到分数的前面。

$0 - \frac{6 (1 + 2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$0 - \frac{6 \cdot 1 + 6 (2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$0 - \frac{6 + 6 (2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$0 - \frac{6 + 12 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

从 $0$ 中减去 $\frac{6 + 12 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$ 。

$- \frac{6 + 12 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

从 $6 + 12 y^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 3.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$- \frac{6 (1) + 12 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

从 $12 y^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$- \frac{6 (1) + 6 (2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $6 (1) + 6 (2 y^{2})$ 中分解出因数 $6$ 。

$- \frac{6 (1 + 2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

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