微积分学示例

$f (x) = - 3 (5 x^{3} - 2 x + 5) (\sqrt{x} + 2 x)$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3 (5 x^{3} - 2 x + 5) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)]$

解题步骤 1.2

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 (5 x^{3} - 2 x + 5) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [(5 x^{3} - 2 x + 5) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [(5 x^{3} - 2 x + 5) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 5 x^{3} - 2 x + 5$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2 x] + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{\frac{1}{2}} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

解题步骤 9

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

解题步骤 11

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 2 x + 5])$

解题步骤 12

根据加法法则， $5 x^{3} - 2 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]))$

解题步骤 13

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]))$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]))$

解题步骤 15

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]))$

解题步骤 16

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]))$

解题步骤 17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]))$

解题步骤 18

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [5]))$

解题步骤 19

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} - 2 + 0))$

解题步骤 20

将 $15 x^{2} - 2$ 和 $0$ 相加。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) + (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} - 2))$

解题步骤 21

化简。

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解题步骤 21.1

运用分配律。

$- 3 ((5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2)) - 3 ((x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} - 2))$

解题步骤 21.2

去掉圆括号。

$- 3 (5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) - 3 (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) (15 x^{2} - 2)$

解题步骤 21.3

重新排序项。

$- 3 (5 x^{3} - 2 x + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4

化简每一项。

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解题步骤 21.4.1

运用分配律。

$(- 3 (5 x^{3}) - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.2

化简。

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解题步骤 21.4.2.1

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$(- 15 x^{3} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$(- 15 x^{3} + 6 x - 3 \cdot 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.2.3

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$(- 15 x^{3} + 6 x - 15) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2) - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 15 x^{3} + 6 x - 15) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2)$ 。

$- 15 x^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4

化简每一项。

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解题步骤 21.4.4.1

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 21.4.4.1.1

从 $- 15 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (- 15 x^{\frac{5}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.1.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (- 15 x^{\frac{5}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.1.3

约去公因数。

解题步骤 21.4.4.1.4

重写表达式。

$- 15 x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{2} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.2

组合 $- 15$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x^{\frac{5}{2}} \frac{- 15}{2} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.3

组合 $x^{\frac{5}{2}}$ 和 $\frac{- 15}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{5}{2}} \cdot - 15}{2} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.4

将 $- 15$ 移到 $x^{\frac{5}{2}}$ 的左侧。

$\frac{- 15 \cdot x^{\frac{5}{2}}}{2} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{15 \cdot x^{\frac{5}{2}}}{2} - 15 x^{3} \cdot 2 + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.6

将 $2$ 乘以 $- 15$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 6 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 21.4.4.7.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 2 (3 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.7.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 2 (3 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.7.3

约去公因数。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 2 (3 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.7.4

重写表达式。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.8

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.9

组合 $x$ 和 $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + \frac{x \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.10

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x \cdot 3 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.11

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 21.4.4.11.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot 3 + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.11.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 21.4.4.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot 3 + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 3 + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.11.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 3 + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.11.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 3 + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.11.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.12

将 $3$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 \cdot x^{\frac{1}{2}} + 6 x \cdot 2 - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.13

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - 15 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.14

组合 $- 15$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x + \frac{- 15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 15 \cdot 2 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.4.16

将 $- 15$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 3 (15 x^{2} - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.5

运用分配律。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + (- 3 (15 x^{2}) - 3 \cdot - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.6

将 $15$ 乘以 $- 3$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + (- 45 x^{2} - 3 \cdot - 2) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.7

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + (- 45 x^{2} + 6) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.8

使用 FOIL 方法展开 $(- 45 x^{2} + 6) (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$ 。

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解题步骤 21.4.8.1

运用分配律。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{2} (x^{\frac{1}{2}} + 2 x) + 6 (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.8.2

运用分配律。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{2} x^{\frac{1}{2}} - 45 x^{2} (2 x) + 6 (x^{\frac{1}{2}} + 2 x)$

解题步骤 21.4.8.3

运用分配律。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{2} x^{\frac{1}{2}} - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

解题步骤 21.4.9

化简每一项。

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解题步骤 21.4.9.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 21.4.9.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

解题步骤 21.4.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{1}{2} + 2} - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

解题步骤 21.4.9.1.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

解题步骤 21.4.9.1.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

解题步骤 21.4.9.1.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

解题步骤 21.4.9.1.6

化简分子。

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解题步骤 21.4.9.1.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{1 + 4}{2}} - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

解题步骤 21.4.9.1.6.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 45 x^{2} (2 x) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

解题步骤 21.4.9.2

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 45 \cdot 2 x^{2} x + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

解题步骤 21.4.9.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 21.4.9.3.1

移动 $x$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 45 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

解题步骤 21.4.9.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 21.4.9.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 45 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

解题步骤 21.4.9.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 45 \cdot 2 x^{1 + 2} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

解题步骤 21.4.9.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 45 \cdot 2 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

解题步骤 21.4.9.4

将 $- 45$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 6 (2 x)$

解题步骤 21.4.9.5

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - 45 x^{\frac{5}{2}} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

解题步骤 21.5

要将 $- 45 x^{\frac{5}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 45 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

解题步骤 21.6

组合 $- 45 x^{\frac{5}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - \frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{- 45 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

解题步骤 21.7

在公分母上合并分子。

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 15 x^{\frac{5}{2}} - 45 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

解题步骤 21.8

化简每一项。

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解题步骤 21.8.1

化简分子。

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解题步骤 21.8.1.1

从 $- 15 x^{\frac{5}{2}} - 45 x^{\frac{5}{2}} \cdot 2$ 中分解出因数 $- 15 x^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 21.8.1.1.1

移动 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 15 x^{\frac{5}{2}} - 45 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

解题步骤 21.8.1.1.2

从 $- 15 x^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $- 15 x^{\frac{5}{2}}$ 。

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 15 x^{\frac{5}{2}} (1) - 45 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

解题步骤 21.8.1.1.3

从 $- 45 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $- 15 x^{\frac{5}{2}}$ 。

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 15 x^{\frac{5}{2}} (1) - 15 x^{\frac{5}{2}} (3 \cdot 2)}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

解题步骤 21.8.1.1.4

从 $- 15 x^{\frac{5}{2}} (1) - 15 x^{\frac{5}{2}} (3 \cdot 2)$ 中分解出因数 $- 15 x^{\frac{5}{2}}$ 。

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 15 x^{\frac{5}{2}} (1 + 3 \cdot 2)}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

解题步骤 21.8.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 15 x^{\frac{5}{2}} (1 + 6)}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

解题步骤 21.8.1.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 15 x^{\frac{5}{2}} \cdot 7}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

解题步骤 21.8.1.4

将 $7$ 乘以 $- 15$ 。

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 + \frac{- 105 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

解题步骤 21.8.2

将负号移到分数的前面。

$- 30 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - \frac{105 x^{\frac{5}{2}}}{2} - 90 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

解题步骤 21.9

从 $- 30 x^{3}$ 中减去 $90 x^{3}$ 。

$- 120 x^{3} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - \frac{105 x^{\frac{5}{2}}}{2} + 6 x^{\frac{1}{2}} + 12 x$

解题步骤 21.10

将 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $6 x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$- 120 x^{3} + 9 x^{\frac{1}{2}} + 12 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - \frac{105 x^{\frac{5}{2}}}{2} + 12 x$

解题步骤 21.11

将 $12 x$ 和 $12 x$ 相加。

$- 120 x^{3} + 9 x^{\frac{1}{2}} + 24 x - \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 30 - \frac{105 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

微积分学 示例

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