微积分学示例

$f (x) = 6 x^{4} - 5 x + x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 1

根据加法法则， $6 x^{4} - 5 x + x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

解题步骤 2.3

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$24 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 x^{3} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

解题步骤 3.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}})]$ 。

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解题步骤 4.1

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

在公分母上合并分子。

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 3}{2}}]$

解题步骤 4.1.3

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2}}]$

解题步骤 4.1.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x^{1}]$

解题步骤 4.2

化简 $x^{1}$ 。

$24 x^{3} - 5 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 x^{3} - 5 + 1$

解题步骤 5

将 $- 5$ 和 $1$ 相加。

$24 x^{3} - 4$

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