微积分学示例

$f (x) = 5 x^{5} + 7 x^{2} \cdot (2 x^{4}) + 5$

解题步骤 1

根据加法法则， $5 x^{5} + 7 x^{2} \cdot (2 x^{4}) + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} \cdot (2 x^{4})] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} \cdot (2 x^{4})] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2} \cdot (2 x^{4})] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [7 x^{2} \cdot (2 x^{4})] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$25 x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{2} \cdot (2 x^{4})] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [7 x^{2} \cdot (2 x^{4})]$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$25 x^{4} + \frac{d}{d x} [14 x^{2} \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$25 x^{4} + \frac{d}{d x} [14 (x^{4} x^{2})] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$25 x^{4} + \frac{d}{d x} [14 x^{4 + 2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.2.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$25 x^{4} + \frac{d}{d x} [14 x^{6}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.3

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$25 x^{4} + 14 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$25 x^{4} + 14 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.5

将 $6$ 乘以 $14$ 。

$25 x^{4} + 84 x^{5} + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$25 x^{4} + 84 x^{5} + 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $25 x^{4} + 84 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$25 x^{4} + 84 x^{5}$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$84 x^{5} + 25 x^{4}$

微积分学 示例

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