微积分学示例

$f (x) = 6 (\ln ({(x)}^{\frac{5}{2}}))$

解题步骤 1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \ln (x^{\frac{5}{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{5}{2}})]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{5}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$6 (\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ 和 $6$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{6}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

解题步骤 7.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 8

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{6}{x^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 9

将 $\frac{6}{x^{\frac{5}{2}}}$ 乘以 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$\frac{6 (5 x^{\frac{3}{2}})}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 10

化简表达式。

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解题步骤 10.1

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$\frac{30 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 10.2

将 $2$ 移到 $x^{\frac{5}{2}}$ 的左侧。

$\frac{30 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 10.3

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{30}{2 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}$

解题步骤 11

化简分母。

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解题步骤 11.1

通过指数相加将 $x^{\frac{5}{2}}$ 乘以 $x^{- \frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 11.1.1

移动 $x^{- \frac{3}{2}}$ 。

$\frac{30}{2 (x^{- \frac{3}{2}} x^{\frac{5}{2}})}$

解题步骤 11.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{30}{2 x^{- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}}}$

解题步骤 11.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{30}{2 x^{\frac{- 3 + 5}{2}}}$

解题步骤 11.1.4

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$\frac{30}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{30}{2 x^{1}}$

解题步骤 11.2

化简 $2 x^{1}$ 。

$\frac{30}{2 x}$

解题步骤 12

约去 $30$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

从 $30$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 15}{2 x}$

解题步骤 12.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 15}{2 (x)}$

解题步骤 12.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 15}{2 x}$

解题步骤 12.2.3

重写表达式。

$\frac{15}{x}$

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