微积分学示例

$f (x) = 5 x^{2} {(3 x - 4)}^{3}$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2} {(3 x - 4)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x - 4)}^{3}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x - 4)}^{3}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(3 x - 4)}^{3}$ 。

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{3}] + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 3 x - 4$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x - 4$ 。

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x - 4]) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 4]) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $3 x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (x^{2} (3 {(3 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 4]) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $3 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$5 (x^{2} (3 {(3 x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 (x^{2} (3 {(3 x - 4)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (x^{2} (3 {(3 x - 4)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$5 (x^{2} (3 {(3 x - 4)}^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 (x^{2} (3 {(3 x - 4)}^{2} (3 + 0)) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$5 (x^{2} (3 {(3 x - 4)}^{2} \cdot 3) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.6.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$5 (x^{2} (9 {(3 x - 4)}^{2}) + {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (x^{2} (9 {(3 x - 4)}^{2}) + {(3 x - 4)}^{3} (2 x))$

解题步骤 4.8

将 $2$ 移到 ${(3 x - 4)}^{3}$ 的左侧。

$5 (x^{2} (9 {(3 x - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(3 x - 4)}^{3} x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$5 (x^{2} (9 {(3 x - 4)}^{2})) + 5 (2 {(3 x - 4)}^{3} x)$

解题步骤 5.2

将 $9$ 乘以 $5$ 。

$45 (x^{2} ({(3 x - 4)}^{2})) + 5 (2 {(3 x - 4)}^{3} x)$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$45 x^{2} {(3 x - 4)}^{2} + 10 ({(3 x - 4)}^{3} x)$

解题步骤 5.4

从 $45 x^{2} {(3 x - 4)}^{2} + 10 {(3 x - 4)}^{3} x$ 中分解出因数 $5 x {(3 x - 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $45 x^{2} {(3 x - 4)}^{2}$ 中分解出因数 $5 x {(3 x - 4)}^{2}$ 。

$5 x {(3 x - 4)}^{2} (9 x) + 10 {(3 x - 4)}^{3} x$

解题步骤 5.4.2

从 $10 {(3 x - 4)}^{3} x$ 中分解出因数 $5 x {(3 x - 4)}^{2}$ 。

$5 x {(3 x - 4)}^{2} (9 x) + 5 x {(3 x - 4)}^{2} (2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.4.3

从 $5 x {(3 x - 4)}^{2} (9 x) + 5 x {(3 x - 4)}^{2} (2 (3 x - 4))$ 中分解出因数 $5 x {(3 x - 4)}^{2}$ 。

$5 x {(3 x - 4)}^{2} (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.5

将 ${(3 x - 4)}^{2}$ 重写为 $(3 x - 4) (3 x - 4)$ 。

$5 x ((3 x - 4) (3 x - 4)) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.6

使用 FOIL 方法展开 $(3 x - 4) (3 x - 4)$ 。

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解题步骤 5.6.1

运用分配律。

$5 x (3 x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4)) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.6.2

运用分配律。

$5 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x - 4)) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.6.3

运用分配律。

$5 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.7.1

化简每一项。

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解题步骤 5.7.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$5 x (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.7.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.7.1.2.1

移动 $x$ 。

$5 x (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.7.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$5 x (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.7.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$5 x (9 x^{2} + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.7.1.4

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$5 x (9 x^{2} - 12 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.7.1.5

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$5 x (9 x^{2} - 12 x - 12 x - 4 \cdot - 4) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.7.1.6

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$5 x (9 x^{2} - 12 x - 12 x + 16) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.7.2

从 $- 12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$5 x (9 x^{2} - 24 x + 16) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.8

运用分配律。

$(5 x (9 x^{2}) + 5 x (- 24 x) + 5 x \cdot 16) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.9

化简。

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解题步骤 5.9.1

使用乘法的交换性质重写。

$(5 \cdot 9 x \cdot x^{2} + 5 x (- 24 x) + 5 x \cdot 16) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.9.2

使用乘法的交换性质重写。

$(5 \cdot 9 x \cdot x^{2} + 5 \cdot - 24 x \cdot x + 5 x \cdot 16) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.9.3

将 $16$ 乘以 $5$ 。

$(5 \cdot 9 x \cdot x^{2} + 5 \cdot - 24 x \cdot x + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.10

化简每一项。

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解题步骤 5.10.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.10.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$(5 \cdot 9 (x^{2} x) + 5 \cdot - 24 x \cdot x + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.10.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.10.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(5 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) + 5 \cdot - 24 x \cdot x + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(5 \cdot 9 x^{2 + 1} + 5 \cdot - 24 x \cdot x + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.10.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(5 \cdot 9 x^{3} + 5 \cdot - 24 x \cdot x + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.10.2

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$(45 x^{3} + 5 \cdot - 24 x \cdot x + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.10.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.10.3.1

移动 $x$ 。

$(45 x^{3} + 5 \cdot - 24 (x \cdot x) + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.10.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(45 x^{3} + 5 \cdot - 24 x^{2} + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.10.4

将 $5$ 乘以 $- 24$ 。

$(45 x^{3} - 120 x^{2} + 80 x) (9 x + 2 (3 x - 4))$

解题步骤 5.11

化简每一项。

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解题步骤 5.11.1

运用分配律。

$(45 x^{3} - 120 x^{2} + 80 x) (9 x + 2 (3 x) + 2 \cdot - 4)$

解题步骤 5.11.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(45 x^{3} - 120 x^{2} + 80 x) (9 x + 6 x + 2 \cdot - 4)$

解题步骤 5.11.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$(45 x^{3} - 120 x^{2} + 80 x) (9 x + 6 x - 8)$

解题步骤 5.12

将 $9 x$ 和 $6 x$ 相加。

$(45 x^{3} - 120 x^{2} + 80 x) (15 x - 8)$

解题步骤 5.13

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(45 x^{3} - 120 x^{2} + 80 x) (15 x - 8)$ 。

$45 x^{3} (15 x) + 45 x^{3} \cdot - 8 - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14

化简每一项。

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解题步骤 5.14.1

使用乘法的交换性质重写。

$45 \cdot 15 x^{3} x + 45 x^{3} \cdot - 8 - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.14.2.1

移动 $x$ 。

$45 \cdot 15 (x \cdot x^{3}) + 45 x^{3} \cdot - 8 - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.14.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$45 \cdot 15 (x^{1} x^{3}) + 45 x^{3} \cdot - 8 - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$45 \cdot 15 x^{1 + 3} + 45 x^{3} \cdot - 8 - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.2.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$45 \cdot 15 x^{4} + 45 x^{3} \cdot - 8 - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.3

将 $45$ 乘以 $15$ 。

$675 x^{4} + 45 x^{3} \cdot - 8 - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.4

将 $- 8$ 乘以 $45$ 。

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 120 x^{2} (15 x) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.5

使用乘法的交换性质重写。

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 120 \cdot 15 x^{2} x - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.14.6.1

移动 $x$ 。

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 120 \cdot 15 (x \cdot x^{2}) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.14.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 120 \cdot 15 (x^{1} x^{2}) - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 120 \cdot 15 x^{1 + 2} - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 120 \cdot 15 x^{3} - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.7

将 $- 120$ 乘以 $15$ 。

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 1800 x^{3} - 120 x^{2} \cdot - 8 + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.8

将 $- 8$ 乘以 $- 120$ 。

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 1800 x^{3} + 960 x^{2} + 80 x (15 x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.9

使用乘法的交换性质重写。

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 1800 x^{3} + 960 x^{2} + 80 \cdot 15 x \cdot x + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.10

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.14.10.1

移动 $x$ 。

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 1800 x^{3} + 960 x^{2} + 80 \cdot 15 (x \cdot x) + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.10.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 1800 x^{3} + 960 x^{2} + 80 \cdot 15 x^{2} + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.11

将 $80$ 乘以 $15$ 。

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 1800 x^{3} + 960 x^{2} + 1200 x^{2} + 80 x \cdot - 8$

解题步骤 5.14.12

将 $- 8$ 乘以 $80$ 。

$675 x^{4} - 360 x^{3} - 1800 x^{3} + 960 x^{2} + 1200 x^{2} - 640 x$

解题步骤 5.15

从 $- 360 x^{3}$ 中减去 $1800 x^{3}$ 。

$675 x^{4} - 2160 x^{3} + 960 x^{2} + 1200 x^{2} - 640 x$

解题步骤 5.16

将 $960 x^{2}$ 和 $1200 x^{2}$ 相加。

$675 x^{4} - 2160 x^{3} + 2160 x^{2} - 640 x$

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