微积分学示例

$F (x) = 5 x^{- 2} \cdot e^{x}$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{- 2} e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{- 2} e^{x}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 2} e^{x}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$5 (x^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$5 (x^{- 2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$5 (x^{- 2} e^{x} + e^{x} (- 2 x^{- 3}))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$5 (\frac{1}{x^{2}} e^{x} + e^{x} (- 2 x^{- 3}))$

解题步骤 5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$5 (\frac{1}{x^{2}} e^{x} + e^{x} (- 2 \frac{1}{x^{3}}))$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$5 (\frac{1}{x^{2}} e^{x}) + 5 (e^{x} (- 2 \frac{1}{x^{3}}))$

解题步骤 5.4

合并项。

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解题步骤 5.4.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $e^{x}$ 。

$5 \frac{e^{x}}{x^{2}} + 5 (e^{x} (- 2 \frac{1}{x^{3}}))$

解题步骤 5.4.2

组合 $5$ 和 $\frac{e^{x}}{x^{2}}$ 。

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} + 5 (e^{x} (- 2 \frac{1}{x^{3}}))$

解题步骤 5.4.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} + 5 (e^{x} \frac{- 2}{x^{3}})$

解题步骤 5.4.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} + 5 (e^{x} (- \frac{2}{x^{3}}))$

解题步骤 5.4.5

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{2}{x^{3}}$ 。

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} + 5 (- \frac{e^{x} \cdot 2}{x^{3}})$

解题步骤 5.4.6

将 $2$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} + 5 (- \frac{2 \cdot e^{x}}{x^{3}})$

解题步骤 5.4.7

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} - 5 \frac{2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 5.4.8

组合 $- 5$ 和 $\frac{2 e^{x}}{x^{3}}$ 。

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} + \frac{- 5 (2 e^{x})}{x^{3}}$

解题步骤 5.4.9

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} + \frac{- 10 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 5.4.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} - \frac{10 e^{x}}{x^{3}}$

微积分学 示例

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