微积分学示例

$f (x) = 5 x^{3 e^{x}}$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3 e^{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$

解题步骤 2

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 2.1

将 $x^{3 e^{x}}$ 重写为 $e^{\ln (x^{3 e^{x}})}$ 。

$5 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{3 e^{x}})}]$

解题步骤 2.2

通过将 $3 e^{x}$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{3 e^{x}})$ 。

$5 \frac{d}{d x} [e^{3 e^{x} \ln (x)}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 e^{x} \ln (x)$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 e^{x} \ln (x)$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$5 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

解题步骤 3.3

使用 $3 e^{x} \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

解题步骤 4

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{x} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$ 。

$5 e^{3 e^{x} \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

解题步骤 4.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

解题步骤 5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 6

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 7

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 8

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 9.2

合并项。

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解题步骤 9.2.1

组合 $\frac{e^{x}}{x}$ 和 $15$ 。

$\frac{e^{x} \cdot 15}{x} e^{3 e^{x} \ln (x)} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 9.2.2

组合 $\frac{e^{x} \cdot 15}{x}$ 和 $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{x} \cdot 15 e^{3 e^{x} \ln (x)}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 9.2.3

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ 。

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解题步骤 9.2.3.1

移动 $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 9.2.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 9.2.3.3

乘以 $3 e^{x} \ln (x)$ 。

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解题步骤 9.2.3.3.1

将 $\ln (x)$ 和 $3$ 重新排序。

$\frac{e^{3 \cdot \ln (x) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 9.2.3.3.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \cdot \ln (x)$ 。

$\frac{e^{\ln (x^{3}) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 9.2.3.4

将 $\ln (x^{3}) e^{x} + x$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 9.2.4

将 $15$ 移到 $e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}$ 的左侧。

$\frac{15 \cdot e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 9.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 9.2.6

要将 $15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + \frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

解题步骤 9.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$\frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x}$

微积分学 示例

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