微积分学示例

$f (x) = 500 (1 + (\frac{4 x}{50 + x^{2}}))$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [500 (\frac{50 + x^{2}}{50 + x^{2}} + \frac{4 x}{50 + x^{2}})]$

解题步骤 1.2

化简项。

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解题步骤 1.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [500 \frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$

解题步骤 1.2.2

组合 $500$ 和 $\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{500 (50 + x^{2} + 4 x)}{50 + x^{2}}]$

解题步骤 1.3

因为 $500$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{500 (50 + x^{2} + 4 x)}{50 + x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $500 \frac{d}{d x} [\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$ 。

$500 \frac{d}{d x} [\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 50 + x^{2} + 4 x$ 且 $g (x) = 50 + x^{2}$ 。

$500 \frac{(50 + x^{2}) \frac{d}{d x} [50 + x^{2} + 4 x] - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $50 + x^{2} + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$500 \frac{(50 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $50$ 对于 $x$ 是常数，所以 $50$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$500 \frac{(50 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$500 \frac{(50 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4 \cdot 1) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.8

根据加法法则， $50 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.9

因为 $50$ 对于 $x$ 是常数，所以 $50$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (2 x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.12

合并分数。

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解题步骤 3.12.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.12.2

组合 $500$ 和 $\frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x}{{(50 + x^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) + (- 2 \cdot 50 - 2 x^{2} - 2 (4 x)) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 \cdot 50 x - 2 x^{2} x - 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简分子。

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解题步骤 4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(50 + x^{2}) (2 x + 4)$ 。

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解题步骤 4.4.1.1.1

运用分配律。

$\frac{500 (50 (2 x + 4) + x^{2} (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.1.2

运用分配律。

$\frac{500 (50 (2 x) + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.1.3

运用分配律。

$\frac{500 (50 (2 x) + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.2.1

将 $2$ 乘以 $50$ 。

$\frac{500 (100 x + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.2.2

将 $50$ 乘以 $4$ 。

$\frac{500 (100 x + 200 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.2.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1.2.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.2.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.1.2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.2.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{3} + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.2.5

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{3} + 4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.3

运用分配律。

$\frac{500 (100 x) + 500 \cdot 200 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4

化简。

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解题步骤 4.4.1.4.1

将 $100$ 乘以 $500$ 。

$\frac{50000 x + 500 \cdot 200 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.2

将 $500$ 乘以 $200$ 。

$\frac{50000 x + 100000 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.3

将 $2$ 乘以 $500$ 。

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.4

将 $4$ 乘以 $500$ 。

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.5

将 $- 2$ 乘以 $50$ 。

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 500 (- 100 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.6

将 $- 100$ 乘以 $500$ 。

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1.7.1

移动 $x$ 。

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 (x \cdot x^{2})) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.1.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{1 + 2}) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{3}) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.8

将 $- 2$ 乘以 $500$ 。

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1.9.1

移动 $x$ 。

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 (x \cdot x)))}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.9.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 x^{2}))}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.10

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 8 x^{2})}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.11

将 $- 8$ 乘以 $500$ 。

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

合并 $50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.4.2.1

从 $50000 x$ 中减去 $50000 x$ 。

$\frac{100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 0 - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.2.2

将 $100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.2.3

从 $1000 x^{3}$ 中减去 $1000 x^{3}$ 。

$\frac{100000 + 2000 x^{2} + 0 - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.2.4

将 $100000 + 2000 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{100000 + 2000 x^{2} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4.3

从 $2000 x^{2}$ 中减去 $4000 x^{2}$ 。

$\frac{100000 - 2000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.5

重新排序项。

$\frac{- 2000 x^{2} + 100000}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

解题步骤 4.6

从 $- 2000 x^{2} + 100000$ 中分解出因数 $2000$ 。

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解题步骤 4.6.1

从 $- 2000 x^{2}$ 中分解出因数 $2000$ 。

$\frac{2000 (- x^{2}) + 100000}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

从 $100000$ 中分解出因数 $2000$ 。

$\frac{2000 (- x^{2}) + 2000 (50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3

从 $2000 (- x^{2}) + 2000 (50)$ 中分解出因数 $2000$ 。

$\frac{2000 (- x^{2} + 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

解题步骤 4.7

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2000 (- (x^{2}) + 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

解题步骤 4.8

将 $50$ 重写为 $- 1 (- 50)$ 。

$\frac{2000 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

解题步骤 4.9

从 $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2000 (- (x^{2} - 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

解题步骤 4.10

将 $- (x^{2} - 50)$ 重写为 $- 1 (x^{2} - 50)$ 。

$\frac{2000 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

解题步骤 4.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2000 (x^{2} - 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

微积分学 示例

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