微积分学示例

$f (x) = 7 \cdot x^{4} + 3 \cdot \arctan (7 x^{4})$

解题步骤 1

根据加法法则， $7 \cdot x^{4} + 3 \cdot \arctan (7 x^{4})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$ 。

$\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

解题步骤 2.3

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$28 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \arctan (7 x^{4})$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\arctan (7 x^{4})]$ 。

$28 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [\arctan (7 x^{4})]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = 7 x^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x^{4}$ 。

$28 x^{3} + 3 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

解题步骤 3.2.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

解题步骤 3.2.3

使用 $7 x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

解题步骤 3.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{4}]))$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

解题步骤 3.5

从 $7 x^{4}$ 中分解出因数 $7$ 。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 (x^{4}))}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

解题步骤 3.6

对 $7 (x^{4})$ 运用乘积法则。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 7^{2} {(x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

解题步骤 3.7

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 {(x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

解题步骤 3.8

将 ${(x^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{4 \cdot 2}} (7 (4 x^{3})))$

解题步骤 3.8.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{8}} (7 (4 x^{3})))$

解题步骤 3.9

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{8}} (28 x^{3}))$

解题步骤 3.10

组合 $28$ 和 $\frac{1}{1 + 49 x^{8}}$ 。

$28 x^{3} + 3 (\frac{28}{1 + 49 x^{8}} x^{3})$

解题步骤 3.11

组合 $\frac{28}{1 + 49 x^{8}}$ 和 $x^{3}$ 。

$28 x^{3} + 3 \frac{28 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

解题步骤 3.12

组合 $3$ 和 $\frac{28 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$ 。

$28 x^{3} + \frac{3 (28 x^{3})}{1 + 49 x^{8}}$

解题步骤 3.13

将 $28$ 乘以 $3$ 。

$28 x^{3} + \frac{84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

合并项。

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解题步骤 4.1.1

要将 $28 x^{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + 49 x^{8}}{1 + 49 x^{8}}$ 。

$\frac{28 x^{3} (1 + 49 x^{8})}{1 + 49 x^{8}} + \frac{84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

解题步骤 4.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{28 x^{3} (1 + 49 x^{8}) + 84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$\frac{84 x^{3} + 28 x^{3} (1 + 49 x^{8})}{49 x^{8} + 1}$

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