微积分学示例

$f (x) = 7 {(8 x + 1)}^{5} {(8 x - 1)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(8 x - 1)}^{2}$ 重写为 $(8 x - 1) (8 x - 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} ((8 x - 1) (8 x - 1))]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(8 x - 1) (8 x - 1)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x - 1) - 1 (8 x - 1))]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x - 1))]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.3

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.5

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 8 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 8 x + 1)]$

解题步骤 3.2

从 $- 8 x$ 中减去 $8 x$ 。

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$

解题步骤 4

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$

解题步骤 5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(8 x + 1)}^{5}$ 且 $g (x) = 64 x^{2} - 16 x + 1$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [64 x^{2} - 16 x + 1] + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $64 x^{2} - 16 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

解题步骤 6.2

因为 $64$ 对于 $x$ 是常数，所以 $64 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

解题步骤 6.4

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

解题步骤 6.5

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

解题步骤 6.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

解题步骤 6.7

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

解题步骤 6.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 + 0) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

解题步骤 6.9

将 $128 x - 16$ 和 $0$ 相加。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = 8 x + 1$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 x + 1$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

解题步骤 7.3

使用 $8 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (5 {(8 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

将 $5$ 移到 $64 x^{2} - 16 x + 1$ 的左侧。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 \cdot (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1])$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $8 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 8.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 8.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 8.5

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 8.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 + 0))$

解题步骤 8.7

化简表达式。

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解题步骤 8.7.1

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} \cdot 8)$

解题步骤 8.7.2

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 40 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (40 (64 x^{2}) + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16)) + 7 ((40 (64 x^{2}) + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

解题步骤 9.3

将 $64$ 乘以 $40$ 。

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

解题步骤 9.4

将 $- 16$ 乘以 $40$ 。

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} - 640 x + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

解题步骤 9.5

将 $40$ 乘以 $1$ 。

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4})$

解题步骤 9.6

从 $7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $7 {(8 x + 1)}^{4}$ 。

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解题步骤 9.6.1

从 $7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16)$ 中分解出因数 $7 {(8 x + 1)}^{4}$ 。

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$

解题步骤 9.6.2

从 $7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $7 {(8 x + 1)}^{4}$ 。

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 {(8 x + 1)}^{4} (2560 x^{2} - 640 x + 40)$

解题步骤 9.6.3

从 $7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 {(8 x + 1)}^{4} (2560 x^{2} - 640 x + 40)$ 中分解出因数 $7 {(8 x + 1)}^{4}$ 。

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16) + 2560 x^{2} - 640 x + 40)$

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