微积分学示例

$f (x) = 7 \cos (x) - 4 \sec (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $7 \cos (x) - 4 \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sec (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [7 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sec (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [7 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sec (x)]$

解题步骤 2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$7 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sec (x)]$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$- 7 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \sec (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 \sec (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 。

$- 7 \sin (x) - 4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 3.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$- 7 \sin (x) - 4 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$- 4 \sec (x) \tan (x) - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 4 \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{- 4}{\cos (x)} \tan (x) - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{\cos (x)} \tan (x) - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.2.4

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{4}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.2.5

乘以 $- \frac{4}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{4}{\cos (x)}$ 。

$- \frac{\sin (x) \cdot 4}{\cos (x) \cos (x)} - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.2.5.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sin (x) \cdot 4}{\cos^{1} (x) \cos (x)} - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.2.5.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sin (x) \cdot 4}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sin (x) \cdot 4}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\sin (x) \cdot 4}{\cos^{2} (x)} - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.2.6

将 $4$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$- \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$- \frac{4 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.3.2

分离分数。

$- (\frac{4}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.3.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$- (\frac{4}{\cos (x)} \tan (x)) - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.3.4

分离分数。

$- (\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)) - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.3.5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- (\frac{4}{1} \sec (x) \tan (x)) - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.3.6

用 $4$ 除以 $1$ 。

$- (4 \sec (x) \tan (x)) - 7 \sin (x)$

解题步骤 4.3.7

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \sec (x) \tan (x) - 7 \sin (x)$

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